Skip to main content

Теория: 01 Теорема Пифагора

Задание

Высота прямоугольного треугольника делит гипотенузу на отрезки \(\displaystyle 3\) и \(\displaystyle 4\small.\) Найдите эту высоту.

2\sqrt{3}
Решение

Обозначим вершины треугольника и основание высоты буквами \(\displaystyle A{\small,}\) \(\displaystyle B{\small,}\) \(\displaystyle C\) и \(\displaystyle H\) соответственно.

  • \(\displaystyle \angle B=90^{\circ}{\small;}\)
  • \(\displaystyle BH=\color{red}{h}\) – высота;
  • \(\displaystyle AH=3{\small;}\)
  • \(\displaystyle CH=4{\small.}\)

Требуется найти \(\displaystyle \color{red}{h}{\small.}\)

 

Чтобы найти \(\displaystyle \color{red}{h}{\small,}\) несколько раз воспользуемся теоремой Пифагора.

Для прямоугольного треугольника \(\displaystyle ABH{\small:}\)

\(\displaystyle AB^2=9+\color{red}{h}^2{\small.}\)

Для прямоугольного треугольника \(\displaystyle CBH{\small:}\)

\(\displaystyle BC^2=16+\color{red}{h}^2{\small.}\)

Для прямоугольного треугольника \(\displaystyle ABC{\small:}\)

\(\displaystyle AC^2=AB^2+BC^2{\small.}\)

  • \(\displaystyle AC=AH+CH=3+4=7{\small;}\)
  • \(\displaystyle AB^2=9+\color{red}{h}^2{\small;}\)
  • \(\displaystyle BC^2=16+\color{red}{h}^2{\small.}\)

Подставляя, получаем:

\(\displaystyle 7^2=(9+\color{red}{h}^2)+(16+\color{red}{h}^2){\small.}\)

Упростим выражение и найдем \(\displaystyle \color{red}{h}{\small:}\)

\(\displaystyle 7^2=25+2\color{red}{h}^2{\small;}\)

\(\displaystyle 2\color{red}{h}^2=49-25{\small;}\)

\(\displaystyle 2\color{red}{h}^2=24{\small;}\)

\(\displaystyle \color{red}{h}^2=12{\small.}\)

Так как длина высоты неотрицательна, то

\(\displaystyle \color{red}{h}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}\small.\)

Ответ: \(\displaystyle 2\sqrt{3}\small.\)