Выберите рисунок, на котором изображено множество решений неравенства
\(\displaystyle |x|+|y| \leqslant 4 {\small .}\)
| Рисунок \(\displaystyle \bf 1\) | Рисунок \(\displaystyle \bf 2\) | Рисунок \(\displaystyle \bf 3\) | |
 |  |  |
Найдите решение данного неравенства с наименьшей абсциссой.
Верный рисунок: ,
решение с наименьшей абсциссой \(\displaystyle (\)\(\displaystyle ;\)\(\displaystyle ){\small .}\)
Изобразим на координатной плоскости множество решений неравенства
\(\displaystyle |x|+|y| \leqslant 4 {\small .}\)
При этом используем следующее соображение.
\(\displaystyle \left|x\right|+\left|y\right| \leqslant 4 {\small , }\)
то пары \(\displaystyle (-x_0;y_0){\small , }\)\(\displaystyle (-x_0;-y_0){\small }\) и \(\displaystyle (x_0;-y_0){\small }\) также являются решениями данного неравенства.
Значит, искомое множество на координатной плоскости симметрично и относительно оси \(\displaystyle Ox {\small , }\) и относительно оси \(\displaystyle Oy {\small . }\)
Решим задачу по шагам.
Шаг 1. Построим множество решений неравенства \(\displaystyle |x|+|y| \leqslant 4 {\small }\) при \(\displaystyle x \geqslant 0\) и \(\displaystyle y \geqslant 0 {\small .}\)
Шаг 2. Отобразим полученное на шаге 1 множество относительно оси \(\displaystyle Oy {\small .}\)
Шаг 3. Отобразим полученное на шаге 2 множество относительно оси \(\displaystyle Ox {\small . }\)
Шаг 1. При \(\displaystyle x \geqslant 0\) и \(\displaystyle y \geqslant 0 {\small }\) неравенство \(\displaystyle |x|+|y| \leqslant 4 {\small }\) примет вид
\(\displaystyle x+y \leqslant 4 {\small .}\)
Значит, требуется найти множество решений системы неравенств
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}&x \geqslant 0{ \small ,}\\&y \geqslant 0{ \small ,}\\&y\leqslant -x+4{\small }\end{aligned}\right.\)
Другими словами, система задаёт треугольник, ограниченный прямыми \(\displaystyle x=0{\small , }\) \(\displaystyle y=0 {\small }\) и \(\displaystyle y=-x+4 {\small. }\)
Шаг 2. Отобразив полученный треугольник симметрично относительно оси \(\displaystyle Oy {\small ,}\) получим:
Шаг 3. Отобразив полученную на шаге 2 фигуру симметрично относительно оси \(\displaystyle Ox {\small ,}\) получим множество решений исходного неравенства.
Видим, что верное решение исходного неравенства изображено на рисунке \(\displaystyle \bf 3 {\small .}\)
Из всех решений неравенства выберем решение с наименьшей абсциссой.
Видим, что такое решение есть и оно единственное. Это точка \(\displaystyle \color{red}{A}\) c координатами \(\displaystyle (-4{\small ;}\,0){\small .}\)
Пару \(\displaystyle (-4{\small ;}\,0)\) и укажем в ответе.
| Ответ: | Верный рисунок: \(\displaystyle \bf 3\), |
| решение с наименьшей абсциссой \(\displaystyle (-4{\small ;}\,0){\small .}\) |