Выберите рисунок, на котором изображено множество решений неравенства
\(\displaystyle |x-2|+|y-3| \leqslant 3 {\small .}\)
| Рисунок \(\displaystyle \bf A\) | Рисунок \(\displaystyle \bf B\) | Рисунок \(\displaystyle \bf C\) | |
 |  |  |
Найдите площадь \(\displaystyle S{\small }\) этой области.
Верный рисунок:
\(\displaystyle S=\)
Изобразим на координатной плоскости множество решений неравенства
\(\displaystyle |x-2|+|y-3| \leqslant 3 {\small .}\)
При этом используем следующее соображение.
\(\displaystyle \left|x-2\right|+\left|y-3\right| \leqslant 3 {\small , }\)
то пары \(\displaystyle (-x_0+4;\;y_0){\small , }\)\(\displaystyle (-x_0+4;\,-y_0+6){\small }\) и \(\displaystyle (x_0;\,-y_0+6){\small }\) также являются решениями данного неравенства.
Так как среднее арифметическое найденных абсцисс
\(\displaystyle \frac{x_0+(-x_0+4)}{2}=\frac{x_0-x_0+4}{2}=\frac{4}{2}=2{\small }\)
и ординат
\(\displaystyle \frac{y_0+(-y_0+6)}{2}=\frac{y_0-y_0+6}{2}=\frac{6}{2}=3{\small, }\)
искомое множество на координатной плоскости симметрично и относительно прямой \(\displaystyle x=2 {\small , }\) и относительно прямой \(\displaystyle y=3 {\small . }\)
Решим задачу по шагам.
Шаг 1. Построим множество решений неравенства \(\displaystyle |x-2|+|y-3| \leqslant 3 {\small }\) при \(\displaystyle x \geqslant 2\) и \(\displaystyle y \geqslant 3 {\small .}\)
Шаг 2. Отобразим полученное на шаге 1 множество относительно прямой \(\displaystyle x=2 {\small .}\)
Шаг 3. Отобразим полученное на шаге 2 множество относительно прямой \(\displaystyle y=3 {\small . }\)
Шаг 1. При \(\displaystyle x \geqslant 2\) и \(\displaystyle y \geqslant 3 {\small }\) неравенство \(\displaystyle |x-2|+|y-3| \leqslant 3 {\small }\) примет вид
\(\displaystyle x-2+y-3 \leqslant 3 {\small ,}\)
\(\displaystyle x+y \leqslant 8 {\small .}\)
Значит, требуется найти множество решений системы неравенств
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}&x \geqslant 2{ \small ,}\\&y \geqslant 3{ \small ,}\\&y\leqslant -x+8{\small }\end{aligned}\right.\)
Другими словами, система задаёт треугольник, ограниченный прямыми \(\displaystyle x=2{\small , }\) \(\displaystyle y=3 {\small }\) и \(\displaystyle y=-x+8 {\small. }\)
Шаг 2. Отобразив полученный треугольник симметрично относительно прямой \(\displaystyle x=2 {\small ,}\) получим:
Шаг 3. Отобразив полученную на шаге 2 фигуру симметрично относительно прямой \(\displaystyle y=3 {\small ,}\) получим множество решений исходного неравенства.
Видим, что верное решение исходного неравенства изображено на рисунке \(\displaystyle \bf C \textnormal {\small .}\)
Найдем площадь \(\displaystyle S{\small }\) области решений исходного неравенства, для чего вычислим площадь треугольника \(\displaystyle AOB {\small .}\)
В треугольнике \(\displaystyle AOB {\small }\) \(\displaystyle \angle AOB=90^{\circ} {\small,}\)\(\displaystyle AO=3\) и \(\displaystyle BO=3{\small .}\)
Значит, \(\displaystyle \triangle AOB {\small }\) – прямоугольный (и равнобедренный). Тогда его площадь
\(\displaystyle S_{AOB}=\frac{1}{2} \cdot AO \cdot BO= \frac{1}{2} \cdot 3\cdot 3 = 4{,}5{\small .}\)
Умножив \(\displaystyle S_{AOB}\) на \(\displaystyle 4 {\small, }\) получим искомую площадь области решений исходного неравенства:
\(\displaystyle S=4\,S_{AOB}=4 \cdot 4{,}5=18{\small .}\)
| Ответ: | Верный рисунок: \(\displaystyle \bf C \textnormal {\small ,}\) |
| \(\displaystyle S=18{\small .}\) |