Skip to main content

Теория: 10 Неравенства с двумя переменными, содержащие обе переменные под знаком модуля

Задание

Выберите рисунок, на котором изображено множество решений неравенства

\(\displaystyle |x|+|y| \leqslant 4 {\small .}\)
 

Рисунок \(\displaystyle \bf 1\)
 		 Рисунок \(\displaystyle \bf 2\)
 		Рисунок \(\displaystyle \bf 3\)
 
 

 

Верный рисунок: 

Решение

Изобразим на координатной плоскости множество решений неравенства 

\(\displaystyle |x|+|y| \leqslant 4 {\small .}\)


При этом используем следующее соображение.

Если пара \(\displaystyle (x_0;y_0)\) является решением неравенства 

\(\displaystyle \left|x\right|+\left|y\right| \leqslant 4 {\small , }\)

то пары \(\displaystyle (-x_0;y_0){\small , }\)\(\displaystyle (-x_0;-y_0){\small }\) и \(\displaystyle (x_0;-y_0){\small }\) также являются решениями данного неравенства.

Значит, искомое множество на координатной плоскости симметрично и относительно оси \(\displaystyle Ox {\small , }\) и относительно оси \(\displaystyle Oy {\small . }\)

Решим задачу по шагам.

Шаг 1. Построим множество решений неравенства \(\displaystyle |x|+|y| \leqslant 4 {\small }\) при \(\displaystyle x \geqslant 0\) и \(\displaystyle y \geqslant 0 {\small .}\)

Шаг 2. Отобразим полученное на шаге 1 множество относительно оси \(\displaystyle Oy {\small .}\)

Шаг 3. Отобразим  полученное на шаге 2 множество относительно оси \(\displaystyle Ox {\small . }\)

 

Шаг 1. При \(\displaystyle x \geqslant 0\) и \(\displaystyle y \geqslant 0 {\small }\) неравенство \(\displaystyle |x|+|y| \leqslant 4 {\small }\) примет вид

\(\displaystyle x+y \leqslant 4 {\small .}\)

Значит, требуется найти множество решений системы неравенств

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}&x \geqslant 0{ \small ,}\\&y \geqslant 0{ \small ,}\\&y\leqslant -x+4{\small }\end{aligned}\right.\)

Решением данной системы является множество точек первой координатной четверти, лежащих на прямой \(\displaystyle y=-x+4\) и ниже её.

Другими словами, система задаёт треугольник,  ограниченный прямыми \(\displaystyle x=0{\small , }\) \(\displaystyle y=0 {\small }\) и \(\displaystyle y=-x+4 {\small. }\)

 

Шаг 2. Отобразив полученный треугольник симметрично относительно оси \(\displaystyle Oy {\small ,}\) получим:

 

Шаг 3. Отобразив полученную на шаге 2 фигуру симметрично относительно оси \(\displaystyle Ox {\small ,}\) получим множество решений исходного неравенства.

 

Видим, что верное решение исходного неравенства изображено на рисунке \(\displaystyle \bf 3 {\small .}\)


Ответ:  Верный рисунок: \(\displaystyle \bf 3\).