Уравнение \(\displaystyle x^2 + 3x + q = 0 \) имеет два корня: \(\displaystyle x_1 \) и \(\displaystyle x_2 {\small .}\) Известно, что \(\displaystyle x_1 =4{\small .}\)
Найдите \(\displaystyle x_2 \) и коэффициент \(\displaystyle q {\small .}\)
\(\displaystyle x_2=\),
\(\displaystyle q=\).
По условию, данное квадратное уравнение имеет корни, поэтому можем воспользоваться теоремой Виета.
Теорема Виета
Если\(\displaystyle x_1\) и\(\displaystyle x_2\) – корни квадратного уравнения\(\displaystyle \color{red}{ a}x^2+\color{green}{ b}x+\color{blue}{ c}=0{\small ,}\)
то для них выполняются следующие соотношения:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned} x_1+x_2&=-\frac{\color{green}{ b}}{\color{red}{ a}}{ \small ,}\\[10px]x_1\cdot x_2&=\frac{\color{blue}{ c}}{\color{red}{ a}} {\small .}\end{aligned}\right. \)
Выпишем коэффициенты квадратного уравнения \(\displaystyle x^2 + 3x + q = 0 {\small : } \)
\(\displaystyle \color{red} {a= 1}{\small ,}\,\, \color{green}{ b}= \color{green}{3}\) и \(\displaystyle \color{blue}{ c}=\color{blue}{ q}{\small .}\)
Учитывая, что \(\displaystyle x_1=4{\small ,}\) получим:
| \(\displaystyle \left\{\begin{aligned} 4+x_2&=-\frac{\color{green}{ 3}}{\color{red}{ 1}}{ \small ,}\\[10px] 4 \cdot x_2&=\frac{\color{blue}{ q}}{\color{red}{ \,\,1}} \end{aligned}\right. \) | \(\displaystyle \Leftrightarrow\) | \(\displaystyle \left\{\begin{aligned} 4+x_2&=-3{ \small ,}\\[10px] 4 x_2&= q {\small .} \end{aligned}\right. \) |
\(\displaystyle x_2 = -7 \) и \(\displaystyle q = -28{\small }\)– решение данной системы.
Ответ: \(\displaystyle x_2 = -7 {\small ,} \, \, q =-28{\small .}\)