Один из корней уравнения
\(\displaystyle x^2 - 19x + c = 0 \)
на \(\displaystyle 3\) больше другого. Найдите \(\displaystyle c{\small}\) и корни уравнения.
Обозначим корни данного квадратного уравнения \(\displaystyle x_1\) и \(\displaystyle x_2{\small .}\)
для квадратного уравнения \(\displaystyle x^2 - 19x + c = 0{\small}\) с коэффициентами
\(\displaystyle \color{red} {a = 1}{\small ,}\,\, \color{green}{b} = \color{green}{-19}\) и \(\displaystyle \color{blue}{ c} = \color{blue}{ c}{\small .}\)
Получим:
| \(\displaystyle \left\{\begin{aligned} x_1 + x_2 & = -\frac{\color{green}{-19}}{\color{red}{\,\,\,\,1}}{\small ,}\\[10px] x_1 \cdot x_2 & = \frac{\color{blue}{c}}{\color{red}{1}} {\small ;} \end{aligned}\right.\) | \(\displaystyle \Leftrightarrow\) | \(\displaystyle \left\{\begin{aligned} x_1 + x_2 & = 19{\small ,}\\[10px] x_1 \cdot x_2 & = c{\small .} \end{aligned}\right.\) |
По условию, один из корней на \(\displaystyle 3\) больше другого. Пусть больший корень – это \(\displaystyle x_2{\small .}\) Тогда
\(\displaystyle x_2 = x_1 + 3{\small .}\)
Подставим в каждое уравнение системы вместо \(\displaystyle x_2\) выражение \(\displaystyle x_1 + 3{\small .}\) Получим:
| \(\displaystyle \left\{\begin{aligned} x_1 + x_1 +3 & = 19{\small ,}\\[10px] x_1 \cdot (x_1 + 3) & = c{\small .} \end{aligned}\right.\) | \(\displaystyle \Leftrightarrow\) | \(\displaystyle \left\{\begin{aligned} 2x_1 + 3 & = 19{\small ,}\\[10px] x_1 \cdot (x_1 + 3) & = c{\small .} \end{aligned}\right.\) |
Решим полученную систему уравнений.
\(\displaystyle x_1 = 8 {\small ;}\) \(\displaystyle c= 88{\small }\)– решение системы.
Теперь найдём \(\displaystyle x_2{\small ,}\) подставив в равенство
\(\displaystyle x_2 = x_1 + 3\)
найденное значение \(\displaystyle x_1 = 8{\small :}\)
\(\displaystyle x_2 = 8 + 3 = 11{\small .}\)
Таким образом, \(\displaystyle c=88{\small,}\) а корни уравнения равны \(\displaystyle 8\) и \(\displaystyle 11{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle c=88{\small ,}\) \(\displaystyle x_1 = 8{\small ,}\) \(\displaystyle x_2 = 11{\small .}\)