Корни \(\displaystyle x_1\) и \(\displaystyle x_2\)уравнения
\(\displaystyle x^2 + kx + 16 = 0 \)
положительны и удовлетворяют условию \(\displaystyle x_2 = 4x_1\).
Найдите \(\displaystyle k{\small}\) и корни уравнения.
для квадратного уравнения \(\displaystyle x^2 + kx + 16 = 0{\small}\) с коэффициентами
\(\displaystyle \color{red} {a = 1}{\small ,}\,\, \color{green}{b} = \color{green}{k}\) и \(\displaystyle \color{blue}{c} = \color{blue}{16}{\small .}\)
Получим:
| \(\displaystyle \left\{\begin{aligned} x_1 + x_2 & = -\frac{\color{green}{k}}{\color{red}{1}}{\small ,}\\[10px] x_1 \cdot x_2 & = \frac{\color{blue}{16}}{\color{red}{1}} {\small ;} \end{aligned}\right.\) | \(\displaystyle \Leftrightarrow\) | \(\displaystyle \left\{\begin{aligned} x_1 + x_2 & = -k{\small ,}\\[10px] x_1 \cdot x_2 & = 16{\small .} \end{aligned}\right.\) |
По условию
\(\displaystyle x_2 = 4x_1{\small .}\)
Подставим в каждое уравнение системы вместо \(\displaystyle x_2\) выражение \(\displaystyle 4x_1{\small .}\) Получим:
| \(\displaystyle \left\{\begin{aligned} x_1 + 4x_1 & = -k{\small ,}\\[10px] x_1 \cdot 4x_1 & = 16{\small .} \end{aligned}\right.\) | \(\displaystyle \Leftrightarrow\) | \(\displaystyle \left\{\begin{aligned} 5x_1 & = -k{\small ,}\\[10px] 4{x_1}^2 & = 16{\small .} \end{aligned}\right.\) |
Решим полученную систему уравнений.
Система имеет два решения:
\(\displaystyle x_1 = 2{\small ,}\) \(\displaystyle k = -10{\small .}\)
\(\displaystyle x_1 = -2{\small ,}\) \(\displaystyle k = 10{\small .}\)
По условию, корни уравнения положительны.
Следовательно, из найденных значений \(\displaystyle x_1\) подходит только \(\displaystyle x_1 = 2{\small .}\) Ему соответствует \(\displaystyle k = -10{\small .}\)
Теперь найдём \(\displaystyle x_2{\small ,}\) подставив в равенство
\(\displaystyle x_2 = 4x_1{\small }\)
найденное значение \(\displaystyle x_1 = 2{\small :}\)
\(\displaystyle x_2 = 4\cdot2 = 8{\small .}\)
Таким образом, \(\displaystyle k = -10{\small,}\) \(\displaystyle x_1 = 2{\small ,}\) \(\displaystyle x_2 = 8{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle k = -10{\small ,}\) \(\displaystyle x_1 = 2{\small ,}\) \(\displaystyle x_2 = 8{\small .}\)