Уравнение \(\displaystyle 3x^2 -mx -14 = 0 \) имеет два корня: \(\displaystyle x_1 \) и \(\displaystyle x_2 {\small .}\) Известно, что \(\displaystyle x_1 = 7{\small .}\)
Найдите \(\displaystyle x_2 \) и коэффициент \(\displaystyle m {\small .}\)
По условию, данное квадратное уравнение имеет корни, поэтому можем воспользоваться теоремой Виета.
Теорема Виета
Если\(\displaystyle x_1\) и\(\displaystyle x_2\) – корни квадратного уравнения\(\displaystyle \color{red}{ a}x^2+\color{green}{ b}x+\color{blue}{ c}=0{\small ,}\)
то для них выполняются следующие соотношения:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned} x_1+x_2&=-\frac{\color{green}{ b}}{\color{red}{ a}}{ \small ,}\\[10px]x_1\cdot x_2&=\frac{\color{blue}{ c}}{\color{red}{ a}} {\small .}\end{aligned}\right. \)
Выпишем коэффициенты квадратного уравнения \(\displaystyle 3x^2 - mx - 14 = 0 {\small :} \)
\(\displaystyle \color{red} {a= 3}{\small ,}\,\, \color{green}{ b}= \color{green}{ -m}\) и \(\displaystyle \color{blue}{ c}=\color{blue}{-14}{\small .}\)
Учитывая, что \(\displaystyle x_1=7{\small ,}\) получим:
| \(\displaystyle \left\{\begin{aligned} 7+x_2&=-\frac{\color{green}{ -m}}{\color{red}{ \,3}}{ \small ,}\\[10px] 7\cdot x_2&=\frac{\color{blue}{ -14}}{\color{red}{ \,\,3}} \end{aligned}\right. \) | \(\displaystyle \Leftrightarrow\) | \(\displaystyle \left\{\begin{aligned} 7+x_2&=\frac{m}{3}{ \small ,}\\[10px] 7 x_2&= -\frac{14}{3} {\small .} \end{aligned}\right. \) |
\(\displaystyle x_2 = -\frac {2}{3} \) и \(\displaystyle m=19{\small }\)– решение данной системы.
Ответ: \(\displaystyle x_2 = -\frac {2}{3}{\small ,} \, \,m=19{\small .}\)