Skip to main content

Теория: 09 Среднее геометрическое-2

Задание

Окружность касается двух параллельных прямых и секущей, причем точка касания делит секущую на два отрезка длинами \(\displaystyle 2{,}5\) и \(\displaystyle 10{\small.}\) Найдите радиус окружности.

Решение

Пусть \(\displaystyle O\) – центр окружности.

Все точки, изображенные на рисунке, обозначим буквами.

  • \(\displaystyle BC \parallel AD{\small;}\)
  • \(\displaystyle C\) и \(\displaystyle D\) – точки касания окружности и прямых \(\displaystyle BC\) и \(\displaystyle AD\) соответственно;
  • \(\displaystyle AB\) – секущая;
  • \(\displaystyle K\) – точка касания окружности и секущей \(\displaystyle AB{\small;}\)
  • \(\displaystyle AK=10{\small,}\) \(\displaystyle BK=2{,}5{\small.}\)

Требуется найти радиус окружности.

 

Выполним дополнительное построение.

Соединим отрезками центр окружности \(\displaystyle O\) с точками \(\displaystyle A{\small,}\) \(\displaystyle B{\small,}\) \(\displaystyle C{\small,}\) \(\displaystyle D{\small,}\) \(\displaystyle K{\small.}\)

Заметим, что:

\(\displaystyle OC=OD=OK\) – радиусы данной окружности.

Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Значит,

\(\displaystyle OC \perp BC{\small;}\) \(\displaystyle OD \perp AD{\small;}\) \(\displaystyle OK \perp AB{\small.}\)

Рассмотрим две пары прямоугольных треугольников: 

  • \(\displaystyle \triangle OBK=\triangle OBC\) по гипотенузе \(\displaystyle OB\) и катетам \(\displaystyle OK=OC{\small.}\) Следовательно,

\(\displaystyle \angle OBK=\angle OBC{\small.} \)

  • \(\displaystyle \triangle OAK=\triangle OAD\) по гипотенузе \(\displaystyle OA\) и катетам \(\displaystyle OK=OD{\small.}\) Следовательно,

\(\displaystyle \angle OAK=\angle OAD{\small.} \)

Значит,

\(\displaystyle \angle ABO=\frac{1}{2}\angle ABC{\small,}\)               \(\displaystyle \angle BAO=\frac{1}{2}\angle BAD{\small.}\)

\(\displaystyle \angle ABC+\angle BAD=180^{\circ}{\small.}\)

Тогда

\(\displaystyle \angle ABO+\angle BAO=\frac{1}{2}\left(\angle ABC+\angle BAD\right)=\frac{1}{2} \cdot 180^{\circ}=90^{\circ}{\small.}\)

 

Рассмотрим треугольник \(\displaystyle AOB{\small:}\)

Сумма внутренних углов треугольника равна \(\displaystyle 180^{\circ}{\small.}\)

Тогда

\(\displaystyle \angle AOB=180^{\circ}-(\angle ABO+\angle BAO){\small;}\)

\(\displaystyle \angle AOB=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}{\small.}\)

Значит, треугольник \(\displaystyle AOB\) прямоугольный.

 

Воспользуемся правилом:

Правило

Высота в прямоугольном треугольнике равна среднему геометрическому отрезков, на которые она делит гипотенузу.

То есть

\(\displaystyle OK=\sqrt{BK \cdot AK}=\sqrt{2{,5} \cdot 10}=\sqrt{25}=5{\small.}\)

Радиус окружности равен \(\displaystyle 5{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle 5{\small.}\)