Теория: 10 Решение систем нелинейных уравнений (повышенная сложность)

Подставим значения \(\displaystyle x=0\) и \(\displaystyle y=0\) в систему уравнений:

\(\displaystyle \begin{cases}3\cdot 0^2+2\cdot 0 \cdot 0-5\cdot 0^2=0 {\small,}\\0^2-0 \cdot 0+2 \cdot 0=4{\small;}\end{cases} \)

\(\displaystyle \begin{cases}0=0 {\small,}\\0 \, \color{red}{\cancel{=}} \,4{\small.}\end{cases} \)

Значит, пара чисел \(\displaystyle (0;0)\) решением данной системы не является.

\(\displaystyle 3x^2+2xy-5y^2=0 \,\,\bigg| \red{: y^2 \, \cancel{=} \,0}\)

\(\displaystyle \frac{3x^2}{y^2}+\frac{2xy}{y^2}-\frac{5y^2}{y^2}=0{\small;}\)

\(\displaystyle 3 \cdot \left (\frac{x}{y}\right)^2+2 \cdot \frac{x}{y}-5=0 {\small.}\)

\(\displaystyle 3 t^2+2t-5=0 \)

Решим квадратное уравнение:

\(\displaystyle \rm{D}=2^2-4 \cdot 3 \cdot (-5)=64\)
и
\(\displaystyle \sqrt{\rm {D}}=\sqrt{64}=8{\small.}\)

Значит, корни уравнения:

\(\displaystyle t_1=\frac{-2+8}{2 \cdot 3}=\frac{6}{6}=1{\small,}\)

\(\displaystyle t_2=\frac{-2-8}{2 \cdot 3}=\frac{-10}{6}=-\frac{5}{3}{\small.}\)

Решим систему уравнений

\(\displaystyle \begin{cases}x=y {\small,}\\x^2-xy+2y=4{\small.}\end{cases} \)

Для этого подставим  \(\displaystyle x=y\) во второе уравнение:

\(\displaystyle y^2-y \cdot y+2y=4{\small,}\)

\(\displaystyle 2y=4{\small,}\)

\(\displaystyle y=2{\small.}\)

Так как \(\displaystyle x=y{\small,} \) то

 \(\displaystyle x=2{\small.}\)

Значит, решение системы – \(\displaystyle (2;2){\small.}\)

Решим систему уравнений

\(\displaystyle \begin{cases}x=-\dfrac{5}{3}y {\small,}\\x^2-xy+2y=4{\small.}\end{cases} \)

Для этого подставим  \(\displaystyle x=-\frac{5}{3}y\) во второе уравнение:

\(\displaystyle \left(-\frac{5}{3}y\right)^2-\left(-\frac{5}{3}y\right) \cdot y+2y=4{\small,}\)

\(\displaystyle \frac{25}{9}y^2+ \frac{5}{3}y^2+2y=4{\small,}\)

\(\displaystyle \frac{40}{9}y^2+2y-4=0\,\,\bigg| \red{:2}\)

\(\displaystyle \frac{20}{9}y^2+y-2=0\,\,\bigg| \red{\cdot 9}\)

\(\displaystyle 20y^2+9y-18=0{\small.}\)

Решим квадратное уравнение:

\(\displaystyle \rm{D}=9^2-4 \cdot 20 \cdot (-18)=1521\)
и
\(\displaystyle \sqrt{\rm {D}}=\sqrt{1521}=39{\small.}\)

Значит, корни уравнения:

\(\displaystyle y_1=\frac{-9+39}{2 \cdot 20}=\frac{30}{40}=\frac{3}{4}{\small,}\)

\(\displaystyle y_2=\frac{-9-39}{2 \cdot 20}=\frac{-48}{40}=-\frac{6}{5}{\small.}\)

При  \(\displaystyle y_1=\frac{3}{4}{\small:} \)     

\(\displaystyle x_1=-\dfrac{5}{3} \cdot \frac{3}{4}=-\dfrac{5}{4}{\small.} \)

При  \(\displaystyle y_2=-\frac{6}{5}{\small:} \)     

\(\displaystyle x_2=-\dfrac{5}{3} \cdot \left(-\frac{6}{5}\right)=2{\small.} \)

Значит, решения системы – \(\displaystyle \left(-\frac{5}{4};\frac{3}{4}\right)\) и \(\displaystyle \left(2;-\frac{6}{5}\right){\small.}\)