Решите систему уравнений:
\(\displaystyle\left\{\begin{aligned}4x+4y=5xy{\small,}\\4x-4y=3xy{\small.}\end{aligned}\right.\)
Решением системы уравнений являются пары чисел:
Заметим, что слагаемое \(\displaystyle 4y\) содержится в уравнениях системы с противоположными знаками, и сложим уравнения системы:
\(\displaystyle\begin{aligned}\underset{\color{red}{\ \ \ \ \ \ \ \text{ ---------------------------------------}}}{\color{red}{+}\begin{cases}\ 4x\color{blue}{+4y}=5xy{\small,}\\4x\color{blue}{-4y}=3xy\\\end{cases}}\\8x+0=8xy{\small,\ \ \ \ \ \ \ } \\x=xy{\small,\ \ \ \ \ \ \ \ } \\x-xy=0{\small.\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\end{aligned}\)
Заменим полученным уравнением одно из уравнений системы (например, первое):
\(\displaystyle\left\{\begin{aligned}x-xy&=0{\small,}\\4x-4y&=3xy{\small.}\end{aligned}\right.\)
Разложим первое уравнение системы на множители:
\(\displaystyle x(1-y)=0{\small,}\)
откуда
\(\displaystyle x=0\) или \(\displaystyle y=1{\small.}\)
Значит, исходная система равносильна совокупности двух систем:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x&=0 {\small,}\\4x-4y&=3xy{\small.}\end{aligned}\right. \) | или | \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}y&=1 {\small,}\\4x-4y&=3xy{\small.}\end{aligned}\right. \) |
\(\displaystyle (0;0){\small.}\)
\(\displaystyle (4;1){\small.}\)
Таким образом, исходная система уравнений система имеет дваразличных решения:
\(\displaystyle (0;0)\) и \(\displaystyle (4;1){\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle (0;0){\small,}\,(4;1){\small.}\)