Skip to main content

Теория: 10 Решение систем нелинейных уравнений (повышенная сложность)

Задание

Решите систему уравнений: 

\(\displaystyle \begin{cases}4x^2-y^2-16x+8y=0 {\small,}\\x^2-xy+y=0{\small.}\end{cases} \)

Решением системы уравнений являются пары чисел (введите только необходимое количество различных решений, последние поля ввода оставьте пустыми, если потребуется):

\(\displaystyle (\)
0
\(\displaystyle {\small;}\)
0
\(\displaystyle ){\small,}\)
\(\displaystyle (\)
2
\(\displaystyle {\small;}\)
4
\(\displaystyle ){\small,}\)
\(\displaystyle (\)
\frac{4}{3}
\(\displaystyle {\small;}\)
\frac{16}{3}
\(\displaystyle ){\small,}\)
\(\displaystyle (\)
\(\displaystyle {\small;}\)
\(\displaystyle ){\small.}\)
Решение

Требуется решить систему уравнений:

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}4x^2-y^2-16x+8y=0 {\small,}\\x^2-xy+y=0{\small.}\end{aligned}\right. \)

Заметим, что первое уравнение системы может быть разложено на множители:

\(\displaystyle (2x-y)(2x+y-8)=0{\small ,}\)

откуда \(\displaystyle 2x-y=0\) или \(\displaystyle 2x+y-8=0{\small.}\)

Значит, исходная система равносильна совокупности двух систем:

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}2x-y=0 {\small,}\\x^2-xy+y=0{\small}\end{aligned}\right. \)

или

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}2x+y-8=0 {\small,}\\x^2-xy+y=0{\small.}\end{aligned}\right. \)

Решения первой системы:

\(\displaystyle (0;0)\) и \(\displaystyle (2;4){\small.}\)

Решения второй системы:

\(\displaystyle (2;4)\) и \(\displaystyle \left(\frac{4}{3};\frac{16}{3}\right){\small.}\)

Таким образом, исходная система уравнений система имеет три различных решения:

\(\displaystyle (0;0){\small,}\,(2;4)\) и \(\displaystyle \left(\frac{4}{3};\frac{16}{3}\right){\small.}\)


Ответ: \(\displaystyle (0;0){\small,}\,(2;4){\small,}\,\left(\frac{4}{3};\frac{16}{3}\right){\small.}\)