Теория: 10 Решение систем нелинейных уравнений (повышенная сложность)

Подставим значения \(\displaystyle x=0\) и \(\displaystyle y=0\) в систему уравнений:

\(\displaystyle \begin{cases}3\cdot 0^2+2\cdot 0 \cdot 0-5\cdot 0^2=0 {\small,}\\0^2-2 \cdot 0 \cdot 0+2 \cdot 0=0{\small;}\end{cases} \)

\(\displaystyle \begin{cases}0=0 {\small,}\\0 =0{\small.}\end{cases} \)

Значит, пара чисел \(\displaystyle (0;0)\) является решением исходной системы уравнений.

\(\displaystyle 3x^2+2xy-5y^2=0 \,\,\bigg| \red{: y^2 \, \cancel{=} \,0}\)

\(\displaystyle \frac{3x^2}{y^2}+\frac{2xy}{y^2}-\frac{5y^2}{y^2}=0{\small;}\)

\(\displaystyle 3 \cdot \left (\frac{x}{y}\right)^2+2 \cdot \frac{x}{y}-5=0 {\small.}\)

\(\displaystyle 3 t^2+2t-5=0 \)

Решим квадратное уравнение:

\(\displaystyle \rm{D}=2^2-4 \cdot 3 \cdot (-5)=64\)
и
\(\displaystyle \sqrt{\rm {D}}=\sqrt{64}=8{\small.}\)

Значит, корни уравнения:

\(\displaystyle t_1=\frac{-2+8}{2 \cdot 3}=\frac{6}{6}=1{\small,}\)

\(\displaystyle t_2=\frac{-2-8}{2 \cdot 3}=\frac{-10}{6}=-\frac{5}{3}{\small.}\)

Решим систему уравнений

\(\displaystyle \begin{cases}x=y {\small,}\\x^2-2xy+2y=0{\small.}\end{cases} \)

Для этого подставим  \(\displaystyle x=y\) во второе уравнение:

\(\displaystyle y^2-2 \cdot y \cdot y+2y=0{\small,}\)

\(\displaystyle -y^2+2y=0{\small.}\)

Вынесем общий множитель \(\displaystyle -y{\small:}\)

\(\displaystyle -y(y-2)=0{\small,}\)

откуда

\(\displaystyle y=0\)  или  \(\displaystyle y=2{\small.}\)

Условию \(\displaystyle y \, \cancel{=} \,0\) удовлетворяет только \(\displaystyle y=2{\small.}\)

Так как \(\displaystyle x=y{\small,} \) то

 \(\displaystyle x=2{\small.}\)

Значит, решение системы – \(\displaystyle (2;2){\small.}\)

Решим систему уравнений

\(\displaystyle \begin{cases}x=-\dfrac{5}{3}y {\small,}\\x^2-2xy+2y=0{\small.}\end{cases} \)

Для этого подставим  \(\displaystyle x=-\frac{5}{3}y\) во второе уравнение:

\(\displaystyle \left(-\frac{5}{3}y\right)^2-2 \cdot \left(-\frac{5}{3}y\right) \cdot y+2y=0{\small,}\)

\(\displaystyle \frac{25}{9}y^2+ \frac{10}{3}y^2+2y=0{\small,}\)

\(\displaystyle \frac{55}{9}y^2+2y=0\,\,\bigg| \red{\cdot 9}\)

\(\displaystyle 55y^2+18y=0{\small.}\)

Вынесем общий множитель \(\displaystyle y{\small:}\)

\(\displaystyle y(55y+18)=0{\small,}\)

откуда

\(\displaystyle y=0\)  или  \(\displaystyle y=-\frac{18}{55}{\small.}\)

Условию \(\displaystyle y \, \cancel{=} \,0\) удовлетворяет только \(\displaystyle y=-\frac{18}{55}{\small.}\)

Так как \(\displaystyle x=-\frac{5}{3}y{\small,} \) то

 \(\displaystyle x=-\frac{5}{3} \cdot \left(-\frac{18}{55}\right)=\frac{6}{11}{\small.}\)

Значит, решение системы – \(\displaystyle \left(\frac{6}{11};-\frac{18}{55}\right){\small.}\)