При каком значении параметра \(\displaystyle a\) система
\(\displaystyle\begin{aligned}\begin{cases}y&=x^2{\small,}\\y-x&=a{\small}\\\end{cases}\\\end{aligned}\)
имеет единственное решение?
Второе уравнение системы – линейное.
Выразим из него одну из переменных, например \(\displaystyle y{\small:}\)
\(\displaystyle y=x+a {\small.}\)
Подставим в первое уравнение системы вместо \(\displaystyle \color{blue}{y}\) выражение \(\displaystyle \color{blue}{x+a}{\small:}\)
\(\displaystyle \color{blue}{x+a}=x^2 {\small .}\)
Перенесем все члены уравнения в левую часть:
\(\displaystyle -x^2+{x+a} =0{\small .}\)
Получили квадратное уравнение на переменную \(\displaystyle x\small.\)
Поскольку каждому значению \(\displaystyle x\) соответствует ровно одно значение \(\displaystyle y\small,\) то единственное решение системы будет в том и только том случае, когда квадратное уравнение имеет ровно один корень.
Значит, дискриминант квадратного уравнения
\(\displaystyle D=1^2-4\cdot (-1) \cdot a=1+4a\)
равен нулю,
\(\displaystyle 1+4a=0\small.\)
Тогда
\(\displaystyle 4a=-1\small,\)
\(\displaystyle a=-0{,}25\small.\)
Система уравнений имеет единственное решение при \(\displaystyle a=-0{,}25\small.\)
Ответ: \(\displaystyle -0{,}25\small.\)