При каком положительном значении параметра \(\displaystyle a\) система
\(\displaystyle\begin{aligned}\begin{cases}yx&=3a{\small,}\\y+2x&=a{\small}\\\end{cases}\\\end{aligned}\)
имеет единственное решение?
Второе уравнение системы – линейное.
Выразим из него одну из переменных, например \(\displaystyle y{\small:}\)
\(\displaystyle y=a-2x {\small.}\)
Подставим в первое уравнение системы вместо \(\displaystyle \color{blue}{y}\) выражение \(\displaystyle \color{blue}{a-2x}{\small:}\)
\(\displaystyle (\color{blue}{a-2x})x=3a {\small .}\)
Раскроем скобки:
\(\displaystyle ax-2x^2=3a{\small .}\)
Перенесем все члены уравнения в правую часть:
\(\displaystyle 0=2x^2-ax+3a{\small .}\)
Поменяем местами левую и правую части:
\(\displaystyle 2x^2-ax+3a=0{\small .}\)
Получили квадратное уравнение на переменную \(\displaystyle x\small.\)
Поскольку каждому значению \(\displaystyle x\) соответствует ровно одно значение \(\displaystyle y\small,\) то единственное решение системы будет в том и только том случае, когда квадратное уравнение имеет ровно один корень.
Значит, дискриминант квадратного уравнения
\(\displaystyle D=(-a)^2-4\cdot 2 \cdot 3a=a^2-24a\)
равен нулю,
\(\displaystyle a^2-24a=0\small,\)
\(\displaystyle a(a-24)=0\small.\)
Тогда
| \(\displaystyle a=0\small\) | или | \(\displaystyle a-24=0\small,\) |
| \(\displaystyle a=24\small.\) |
Так как ищется положительное значение \(\displaystyle a\small,\) то \(\displaystyle a=24\small.\)
Ответ: \(\displaystyle 24\small.\)