При каком значении параметра \(\displaystyle a\) система
\(\displaystyle\begin{aligned}\begin{cases}y-x^2&=a{\small,}\\y+4x&=3a{\small}\\\end{cases}\\\end{aligned}\)
имеет единственное решение?
Второе уравнение системы – линейное.
Выразим из него одну из переменных, например \(\displaystyle y{\small:}\)
\(\displaystyle y=3a-4x {\small.}\)
Подставим в первое уравнение системы вместо \(\displaystyle \color{blue}{y}\) выражение \(\displaystyle \color{blue}{3a-4x}{\small:}\)
\(\displaystyle \color{blue}{3a-4x}-x^2=a {\small .}\)
Перенесем все члены уравнения в правую часть:
\(\displaystyle 0=a-3a+4x+x^2{\small .}\)
Поменяем местами левую и правую части и приведем подобные:
\(\displaystyle x^2+4x-2a=0{\small .}\)
Получили квадратное уравнение на переменную \(\displaystyle x\small.\)
Поскольку каждому значению \(\displaystyle x\) соответствует ровно одно значение \(\displaystyle y\small,\) то единственное решение системы будет в том и только том случае, когда квадратное уравнение имеет ровно один корень.
Значит, дискриминант квадратного уравнения
\(\displaystyle D=4^2-4\cdot 1 \cdot (-2a)=8a+16\)
равен нулю,
\(\displaystyle 8a+16=0\small.\)
Тогда
\(\displaystyle 8a=-16\small,\)
\(\displaystyle a=-2\small.\)
Система уравнений имеет единственное решение при \(\displaystyle a=-2\small.\)
Ответ: \(\displaystyle -2\small.\)