При каком значении параметра \(\displaystyle a\) система
\(\displaystyle\begin{aligned}\begin{cases}(x-3)(y+5)&=0{\small,}\\y-x&=a{\small}\\\end{cases}\\\end{aligned}\)
имеет единственное решение?
Второе уравнение системы – линейное.
Выразим из него одну из переменных, например \(\displaystyle y{\small:}\)
\(\displaystyle y=x+a {\small.}\)
Подставим в первое уравнение системы вместо \(\displaystyle \color{blue}{y}\) выражение \(\displaystyle \color{blue}{x+a}{\small:}\)
\(\displaystyle (x-3)( \color{blue}{x+a}+5)=0 {\small .}\)
Тогда
\(\displaystyle x-3=0\) или \(\displaystyle x+a+5=0\small,\)
\(\displaystyle x=3\) или \(\displaystyle x=-5-a\small.\)
Единственное решение будет в том и только том случае, когда корни совпадают, то есть
\(\displaystyle 3=-5-a\small,\)
\(\displaystyle a=-5-3\small,\)
\(\displaystyle a=-8\small.\)
Система уравнений имеет единственное решение при \(\displaystyle a=-8\small.\)
Ответ: \(\displaystyle -8\small.\)