При каком положительном значении параметра \(\displaystyle a\) система
\(\displaystyle\begin{aligned}\begin{cases}yx&=4{\small,}\\y+x&=a{\small}\\\end{cases}\\\end{aligned}\)
имеет единственное решение?
Второе уравнение системы – линейное.
Выразим из него одну из переменных, например \(\displaystyle y{\small:}\)
\(\displaystyle y=-x+a {\small.}\)
Подставим в первое уравнение системы вместо \(\displaystyle \color{blue}{y}\) выражение \(\displaystyle \color{blue}{-x+a}{\small:}\)
\(\displaystyle (\color{blue}{-x+a})x=4 {\small .}\)
Перенесем все члены уравнения в левую часть:
\(\displaystyle -x^2+{ax} -4 =0{\small .}\)
Получили квадратное уравнение на переменную \(\displaystyle x\small.\)
Поскольку каждому значению \(\displaystyle x\) соответствует ровно одно значение \(\displaystyle y\small,\) то единственное решение системы будет в том и только том случае, когда квадратное уравнение имеет ровно один корень.
Значит, дискриминант квадратного уравнения
\(\displaystyle D=(a)^2-4\cdot (-1) \cdot (-4)=a^2-16\)
равен нулю,
\(\displaystyle a^2 -16=0\small,\)
\(\displaystyle (a-4)(a+4)=0\small.\)
Тогда
\(\displaystyle a-4=0\small\) или \(\displaystyle a+4=0\small,\)
\(\displaystyle a=4\small\) или \(\displaystyle a=-4\small.\)
Так как ищется положительное значение \(\displaystyle a\small,\) то \(\displaystyle a=4\small.\)
Ответ: \(\displaystyle 4\small.\)