Решим неравенство
\(\displaystyle \frac{x+5}{x-3}<5{\small .}\)
Преобразуем неравенство к стандартному виду. Для этого перенесём \(\displaystyle 5\) в левую часть и получим ноль в правой:
\(\displaystyle \frac{x+5}{x-3}-5<0{\small .}\)
Приведём левую часть неравенства к общему знаменателю:
\(\displaystyle \begin{aligned}\frac{x+5}{x-3}-5&=\frac{x+5-5(x-3)}{x-3} =\\[10px]&= \frac{x+5-5x+15}{x-3} =\frac{20-4x}{x-3}{\small .}\end{aligned}\)
Решим полученное дробно-рациональное неравенство
\(\displaystyle \frac{20-4x}{x-3}<0{\small }\)
методом интервалов.
Шаг 1. Найдем нули числителя и знаменателя.
\(\displaystyle 20-4x=0{\small ,}\) откуда \(\displaystyle x=5{\small .}\)
\(\displaystyle x-3=0{\small ,}\) откуда \(\displaystyle x=3{\small .}\)
Шаг 2. Нанесем на координатную прямую найденные значения и получим \(\displaystyle 3\) интервала.
Поскольку неравенство строгое, то
- все нули числителя и знаменателя обозначаются выколотыми.
Значит, \(\displaystyle x=3\) и \(\displaystyle x=5\) обозначаются выколотыми точками.
Шаг 3. Определим знак функции \(\displaystyle f(x)=\frac{20-4x}{x-3}\) на каждом из интервалов:
Из интервала \(\displaystyle (5;+\infty)\) выберем любое значение \(\displaystyle x{\small .}\) Например,\(\displaystyle x=10{\small :}\)
\(\displaystyle f(10)=\frac{20-4 \cdot 10}{10-3}=\frac{-20}{ 7}<0{\small .}\)
Пишем знак минус в интервале \(\displaystyle (5;+\infty){\small :}\)
В выражение \(\displaystyle f(x)=\frac{20-4x}{x-3}=\frac{4(5-x)}{x-3}\) все линейные множители входят в нечётной степени, поэтому знаки функции на интервалах чередуются.
Так как решения неравенства \(\displaystyle \frac{20-4x}{x-3}< 0\) соответствуют промежуткам, где функция отрицательна, то
\(\displaystyle (-\infty;3) \cup (5;+\infty) \) – искомое решение.
Изобразим множество решений неравенства на прямой:
