Решим неравенство
\(\displaystyle \frac{x-6}{x+3}<3{\small .}\)
Преобразуем неравенство к стандартному виду. Для этого перенесём \(\displaystyle 3\) в левую часть и получим ноль в правой:
\(\displaystyle \frac{x-6}{x+3}-3<0{\small .}\)
Приведём левую часть неравенства к общему знаменателю:
\(\displaystyle \begin{aligned}\frac{x-6}{x+3}-3&=\frac{x-6-3(x+3)}{x+3} =\\[10px]&= \frac{x-6-3x-9}{x+3} =\frac{-2x-15}{x+3}{\small .}\end{aligned}\)
Неравенство приняло вид:
\(\displaystyle \frac{-2x-15}{x+3}<0{\small.}\)
Умножим обе части полученного неравенства на \(\displaystyle -1{\small :}\)
\(\displaystyle \frac{-2x-15}{x+3}<0\,\,\bigg| \red{\cdot (-1)}{\small }\)
Так как при умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный, получим:
\(\displaystyle \frac{2x+15}{x+3}>0{\small .}\)
Решим последнее неравенство методом интервалов.
Шаг 1. Найдем нули числителя и знаменателя.
\(\displaystyle 2x+15=0{\small ,}\) откуда \(\displaystyle x=-7{,}5{\small .}\)
\(\displaystyle x+3=0{\small ,}\) откуда \(\displaystyle x=-3{\small .}\)
Шаг 2. Нанесем на координатную прямую найденные значения и получим \(\displaystyle 3\) интервала.
Поскольку неравенство строгое, то
- все нули числителя и знаменателя обозначаются выколотыми.
Значит, \(\displaystyle x=-7{,}5\) и \(\displaystyle x=-3\) обозначаются выколотыми точками.
Шаг 3. Определим знак функции \(\displaystyle f(x)=\frac{2x+15}{x+3}\) на каждом из интервалов:
Из интервала \(\displaystyle (-3;+\infty)\) выберем любое значение \(\displaystyle x{\small .}\) Например,\(\displaystyle x=0{\small :}\)
\(\displaystyle f(0)=\frac{2 \cdot 0+15}{0+3}=\frac{15}{ 3}>0{\small .}\)
Пишем знак плюс в интервале \(\displaystyle (-3;+\infty){\small :}\)
В выражение \(\displaystyle f(x)=\frac{2x+15}{x+3}=\frac{2(x+7{,}5)}{x+3}\) все линейные множители входят в нечётной степени, поэтому знаки функции на интервалах чередуются.
Так как решения неравенства \(\displaystyle \frac{2x+15}{x+3}> 0\) соответствуют промежуткам, где функция положительна, то
\(\displaystyle (-\infty;-7{,}5) \cup (-3;+\infty) \) – искомое решение.
Изобразим множество решений неравенства на прямой:
