Известно скалярное произведение: \(\displaystyle \vec{a}\cdot\vec{b}=12\small.\) Вектор \(\displaystyle \vec{a}\) уменьшили в три раза, а вектор \(\displaystyle \vec{b}\) увеличили в \(\displaystyle 2\) раза. Как изменилось скалярное произведение?
Если \(\displaystyle \vec{a}\) и \(\displaystyle \vec{b}\) – векторы, а \(\displaystyle k\) – число, то для скалярного произведения верно:
\(\displaystyle \left(\color{red}{ k}\cdot\vec{a}\right)\cdot\vec{b}=\color{red}{ k}\cdot\left(\vec{a}\cdot\vec{b}\right){ \small ,}\)
\(\displaystyle \vec{a}\cdot \left(\color{red}{ k}\cdot\vec{b}\right)=\color{red}{ k}\cdot\left(\vec{a}\cdot\vec{b}\right)\small.\)
Тогда
\(\displaystyle \left(\frac{1}{3}\vec{a}\right)\cdot\left(2\vec{b}\right)=\frac{1}{3}\left(\vec{a}\cdot2\vec{b}\right)=\frac{1}{3}\cdot2\cdot\left(\vec{a}\cdot\vec{b}\right)=\frac{1}{3}\cdot2\cdot12=8\small.\)
Ответ: \(\displaystyle \left(\frac{1}{3}\vec{a}\right)\cdot\left(2\vec{b}\right)=8\small.\)