Векторы \(\displaystyle \vec{i}\) и \(\displaystyle \vec{j}\) – два единичных перпендикулярных вектора. Известно, что
\(\displaystyle \vec{a}=3\vec{i}+\vec{j}\) и \(\displaystyle \vec{b}=2\vec{i}+4\vec{j}\small.\)
Найдите
Для векторов \(\displaystyle \vec{a},\,\vec{b}\) и \(\displaystyle \vec{c}\) верно
\(\displaystyle \vec{a}\cdot\left(\vec{b}+\vec{c}\right)=\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{a}\cdot\vec{c}\small.\)
Подставим \(\displaystyle \vec{a}=3\vec{i}+\vec{j}\) и \(\displaystyle \vec{b}=2\vec{i}+4\vec{j}{\small:}\)
\(\displaystyle \vec{a}\cdot\vec{b}=(3\vec{i}+\vec{j})\cdot(2\vec{i}+4\vec{j})\small.\)
Используя правило, раскроем скобки:
\(\displaystyle (3\vec{i}+\vec{j})\cdot(2\vec{i}+4\vec{j})=3\vec{i}\cdot(2\vec{i}+4\vec{j})+\vec{j}\cdot(2\vec{i}+4\vec{j})=3\vec{i}\cdot2\vec{i}+3\vec{i}\cdot4\vec{j}+\vec{j}\cdot2\vec{i}+\vec{j}\cdot4\vec{j}\small.\)
\(\displaystyle \begin{aligned}3\vec{i}\cdot2\vec{i}+3\vec{i}\cdot4\vec{j}+\vec{j}\cdot2\vec{i}+\vec{j}\cdot4\vec{j}=3\cdot2\cdot\vec{i}\cdot\vec{i}+3\cdot4\cdot\vec{i}\cdot\vec{j}+2\cdot\vec{j}\cdot\vec{i}+4\cdot\vec{j}\cdot\vec{j}=\\=6\cdot\vec{i}\cdot\vec{i}+12\cdot\vec{i}\cdot\vec{j}+2\cdot\vec{j}\cdot\vec{i}+4\cdot\vec{j}\cdot\vec{j}\small.\end{aligned}\)
Скалярное произведение двух перпендикулярных векторов равно \(\displaystyle 0\small.\) То есть \(\displaystyle \vec{i}\cdot\vec{j}=\vec{j}\cdot\vec{i}=0\small.\)
А скалярное умножение вектора на себя равно квадрату длины этого вектора. То есть
\(\displaystyle \vec{i}\cdot\vec{i}=|\vec{i}|\cdot|\vec{i}|=1\cdot1=1{ \small ,}\)
\(\displaystyle \vec{j}\cdot\vec{j}=|\vec{j}|\cdot|\vec{j}|=1\cdot1=1\small.\)
Тогда можно упростить выражение:
\(\displaystyle 6\cdot\vec{i}\cdot\vec{i}+12\cdot\vec{i}\cdot\vec{j}+2\cdot\vec{j}\cdot\vec{i}+4\cdot\vec{j}\cdot\vec{j}=6\cdot1+12\cdot0+2\cdot0+4\cdot1=6+4=10\small.\)
Ответ: \(\displaystyle \vec{a}\cdot\vec{b}=10\small.\)