Угол \(\displaystyle \alpha\) между векторами \(\displaystyle \vec{a}\) и \(\displaystyle \vec{b}\) – тупой.
Выразите проекцию \(\displaystyle \vec{a}\) на ось, сонаправленную с вектором \(\displaystyle \vec{b}\small,\) через скалярное произведение векторов \(\displaystyle \vec{a}\) и \(\displaystyle \vec{b}\) и их длины:
Скалярным произведением векторов \(\displaystyle \overrightarrow {a}\) и \(\displaystyle \overrightarrow {b}\) называется число
\(\displaystyle \overrightarrow {a}\cdot \overrightarrow {b}=|\overrightarrow {a}| \cdot |\overrightarrow {b}|\cdot \cos ( \widehat{\overrightarrow {a},\overrightarrow {b}}),\)
где \(\displaystyle \widehat{\overrightarrow {a},\overrightarrow {b}}\)– угол между векторами \(\displaystyle \overrightarrow {a}\) и \(\displaystyle \overrightarrow {b}.\)
Опустим перпендикуляр из конца вектора \(\displaystyle \vec{a}\) на ось, сонаправленную с вектором \(\displaystyle \vec{b}\small.\) Тогда проекция \(\displaystyle \vec{a}\) на ось – это \(\displaystyle -AC\small.\)
Тогда в прямоугольном треугольнике \(\displaystyle ABC\) выполняется соотношение: \(\displaystyle AC=AB\cdot\cos\angle BAC\small.\) То есть \(\displaystyle \vec{a}_{\vec{b}}=-|\vec{a}|\cos(180^{\circ}-\color{red}{\alpha})\small.\) |  |
Согласно формулам приведения \(\displaystyle \cos(180^{\circ}-\color{red}{\alpha})=-\cos\color{red}{\alpha}\small.\) Получаем
\(\displaystyle \vec{a}_{\vec{b}}=|\vec{a}|\cos\color{red}{\alpha}\small.\)
Тогда по определению скалярного произведения
\(\displaystyle \vec{a}_{\vec{b}}=|\vec{a}|\cos\color{red}{\alpha}=\frac{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cos\color{red}{\alpha}}{|\vec{b}|}=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}\small.\)
Ответ: \(\displaystyle \vec{a}_{\vec{b}}=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}\small.\)