В прямоугольной системе координат даны векторы: \(\displaystyle \vec{a}(-2;\,4)\) и \(\displaystyle \vec{b}(4;\,2)\small.\) Найдите угол между векторами \(\displaystyle \vec{a}\) и \(\displaystyle \vec{b}\) и проекцию вектора \(\displaystyle \vec{a}\) на ось, сонаправленную с вектором \(\displaystyle \vec{b}{\small:}\)
Проекция вектора \(\displaystyle \vec{a}\) на ось, сонаправленную вектору \(\displaystyle \vec{b}\small,\) равна
\(\displaystyle \vec{a}_{\vec{b}}=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{b}|}\small.\)
Найдем скалярное произведение векторов \(\displaystyle \vec{a}(-2;\,4)\) и \(\displaystyle \vec{b}(4;\,2){\small:}\)
\(\displaystyle \vec{a}\cdot\vec{b}=(-2)\cdot4+4\cdot2=0\small.\)
Тогда проекция равна \(\displaystyle 0{\small:}\)
\(\displaystyle \vec{a}_{\vec{b}}=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{b}|}=\frac{0}{|\vec{b}|}=0\small.\)
Также, если скалярное произведение векторов равно \(\displaystyle 0\small,\) то угол между ними равен \(\displaystyle 90^{\circ}{\small:}\)
\(\displaystyle \cos ( \widehat{\overrightarrow {a},\overrightarrow {b}})=90^{\circ}\small.\)
Таким образом, получаем, что три условия равносильны:
- скалярное произведение векторов \(\displaystyle \vec{a}\) и \(\displaystyle \vec{b}\) равно \(\displaystyle 0{\small;}\)
- угол между векторами \(\displaystyle \vec{a}\) и \(\displaystyle \vec{b}\) равен \(\displaystyle 90^{\circ}{\small;}\)
- проекция одного вектора на ось, сонаправленную со вторым, равна \(\displaystyle 0\small.\)