В прямоугольной системе координат вершины треугольника \(\displaystyle ABC\) точки \(\displaystyle A(-2;\,2),\,B(3;\,-1)\) и \(\displaystyle C(2,\,5)\small.\) Найдите отрезки, на которые сторону \(\displaystyle BC\) делит высота \(\displaystyle AH\small.\)
Проекция вектора \(\displaystyle \vec{a}\) на ось, сонаправленную вектору \(\displaystyle \vec{b}\small,\) равна
\(\displaystyle \vec{a}_{\vec{b}}=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{b}|}\small.\)
Отметим, что
Тогда, чтобы решить задачу:
|  |
Координаты вектора равны разности координат конца и начала.
Найдем координаты векторов \(\displaystyle \overrightarrow{BA},\,\overrightarrow{CA}\) и \(\displaystyle \overrightarrow{CB}{\small:}\)
- \(\displaystyle \overrightarrow{BA}((-2)-3;\,2-(-1))=\overrightarrow{BA}(-5;\,3)\small,\)
- \(\displaystyle \overrightarrow{CA}((-2)-2;\,2-5)=\overrightarrow{CA}(-4;\,-3)\small,\)
- \(\displaystyle \overrightarrow{CB}(3-2;\,-1-5)=\overrightarrow{CB}(1;\,-6)\small.\)
Вычислим проекции:
\(\displaystyle CH=\left|\overrightarrow{CA}_{\overrightarrow{CB}}\right|=\left|\frac{\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}}{|\overrightarrow{CB}|}\right|=\left|\frac{-4\cdot1+(-3)\cdot(-6)}{\sqrt{1^2+(-6)^2}}\right|=\left|\frac{14}{\sqrt{37}}\right|=\frac{14\sqrt{37}}{37}\small,\)
\(\displaystyle BH=\left|\overrightarrow{BA}_{\overrightarrow{CB}}\right|=\left|\frac{\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{CB}}{|\overrightarrow{CB}|}\right|=\left|\frac{-5\cdot1+3\cdot(-6)}{\sqrt{1^2+(-6)^2}}\right|=\left|\frac{-23}{\sqrt{37}}\right|=\frac{23\sqrt{37}}{37}\small.\)
Ответ: \(\displaystyle CH=\frac{14\sqrt{37}}{37}\) и \(\displaystyle BH=\frac{23\sqrt{37}}{37}\small.\)