В прямоугольной системе координат даны точки: \(\displaystyle A(2;\,-1),\,B(3;\,5),\,C(-2;\,7),\,D(-1;\,-3)\small.\) Найдите проекцию вектора \(\displaystyle \overrightarrow{AB}\) на ось, сонаправленную с вектором \(\displaystyle \overrightarrow{CD}{\small:}\)
Проекция вектора \(\displaystyle \vec{a}\) на ось, сонаправленную вектору \(\displaystyle \vec{b}\small,\) равна
\(\displaystyle \vec{a}_{\vec{b}}=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{b}|}\small.\)
Чтобы решить задачу, найдем координаты векторов \(\displaystyle \overrightarrow{AB}\) и \(\displaystyle {\overrightarrow{CD}}\) и воспользуемся формулой.
Координаты вектора равны разности координат конца и начала вектора, получаем:
- \(\displaystyle \overrightarrow{AB}(3-2;\,5-(-1))=\overrightarrow{AB}(1;\,6)\small,\)
- \(\displaystyle \overrightarrow{CD}((-1)-(-2);\,-3-7)=\overrightarrow{CD}(1;\,-10)\small.\)
Зная координаты векторов, найдем их скалярное произведение и длину вектора \(\displaystyle \overrightarrow{CD}{\small:}\)
- \(\displaystyle \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}=1\cdot1+6\cdot(-10)=-59\small,\)
- \(\displaystyle |\overrightarrow{CD}|=\sqrt{1^2+(-10)^2}=\sqrt{101}\small.\)
Подставляя в формулу для нахождения проекции, получаем:
\(\displaystyle \overrightarrow{AB}_{\overrightarrow{CD}}=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{CD}|}=\frac{-59}{\sqrt{101}}=-\frac{59\sqrt{101}}{101}\small.\)
Ответ: \(\displaystyle \overrightarrow{AB}_{\overrightarrow{CD}}=-\frac{59\sqrt{101}}{101}\small.\)