Дана последовательность, в которой \(\displaystyle n\)- й член равен \(\displaystyle n\)- ой степени числа \(\displaystyle \frac{1}{2} {\small.}\)
Возрастающей или убывающей является данная последовательность?
По условию \(\displaystyle n\)- й член равен \(\displaystyle n\)- ой степени числа \(\displaystyle \frac{1}{2} {\small.}\) Получаем формулу \(\displaystyle n\)- го члена:
\(\displaystyle a_{\color{blue}{n}}=\left(\frac{1}{2} \right)^\color{blue}{n}{\small.}\)
Найдем несколько первых членов последовательности:
\(\displaystyle a_\color{blue}{1}=\left(\frac{1}{2} \right)^\color{blue}{1}=\frac{1}{2}{\small,}\)
\(\displaystyle a_\color{blue}{2}=\left(\frac{1}{2} \right)^\color{blue}{2}=\frac{1}{4}{\small,}\)
\(\displaystyle a_\color{blue}{3}=\left(\frac{1}{2} \right)^\color{blue}{3}=\frac{1}{8}{\small,}\)
\(\displaystyle \dots\)
Видим, что каждый следующий член последовательности меньше предыдущего.
Последовательность, в которой каждый последующий член меньше предыдущего, называется убывающей.
Значит, можем предположить, что последовательность убывающая.
Докажем этот факт. Для этого требуется проверить, что каждый последующий член последовательности меньше предыдущего, то есть
\(\displaystyle a_{n+1}<a_n{\small.}\)
Для проверки удобнее перенести члены неравенства в левую часть и проверить выполнение неравенства
\(\displaystyle a_{n+1}-a_n<0{\small.}\)
У нас:
\(\displaystyle a_\color{blue}{n}=\left(\frac{1}{2} \right)^\color{blue}{n}\) и \(\displaystyle a_\color{blue}{n+1}=\left(\frac{1}{2} \right)^\color{blue}{n+1}{\small.}\)
Получаем:
\(\displaystyle \begin{alignedat}{2}a_{n+1}-a_n=\left(\frac{1}{2} \right)^{n+1}-\left(\frac{1}{2} \right)^{n}=\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \right)^{n}-\left(\frac{1}{2} \right)^{n}=-\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \right)^{n}{\small.}\end{alignedat}\)
Так как \(\displaystyle \frac{1}{2}>0\) и\(\displaystyle n\)– натуральное число, то \(\displaystyle \left(\frac{1}{2} \right)^n\) положительно.
Значит, \(\displaystyle -\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \right)^{n}\) отрицательно как произведение положительного и отрицательного сомножителей.
Получили
\(\displaystyle a_{n+1}-a_n<0{\small}\) или \(\displaystyle a_{n+1}<a_n{\small}\)
при любых натуральных \(\displaystyle n{\small.}\)
Значит, исходная поcледовательность является убывающей.
Ответ: данная последовательность убывающая.