Исследуйте на монотонность последовательность, заданную формулой
\(\displaystyle a_n=n^2-8n-12 {\small.}\)
Выберите верные утверждения.
По условию последовательность задана формулой \(\displaystyle n\)- го члена:
\(\displaystyle a_{\color{blue}{n}}=\color{blue}{n}^2- 8\color{blue}{n}-12{\small.}\)
Последовательность, в которой каждый последующий член больше предыдущего, называется возрастающей.
Последовательность, в которой каждый последующий член меньше предыдущего, называется убывающей.
Рассмотрим разность двух членов последовательности
\(\displaystyle a_{n+1}-a_n{\small.}\)
Если для любых натуральных \(\displaystyle n\) \(\displaystyle a_{n+1}-a_n>0{\small, }\) то \(\displaystyle a_{n+1}>a_n{\small}\) и последовательность возрастающая.
Если для любых натуральных \(\displaystyle n\) \(\displaystyle a_{n+1}-a_n<0{\small, }\) то \(\displaystyle a_{n+1}<a_n{\small}\) и последовательность убывающая.
У нас:
\(\displaystyle a_n=\color{blue}{n}^2- 8\color{blue}{n}-12\) и \(\displaystyle a_\color{blue}{n+1}=(\color{blue}{n+1})^2-8(\color{blue}{n+1})-12{\small.}\)
Упростим выражение для \(\displaystyle a_{n+1}\)
\(\displaystyle a_{n+1}=(n+1)^2-8(n+1)-12=n^2+2n+1-8n-8-12=n^2-6n-19{\small}\)
и найдём
\(\displaystyle a_{n+1}-a_n=n^2-6n-19-(n^2-8n-12)=2n-7{\small.}\)
Заметим, что
- \(\displaystyle 2n-7>0\) при \(\displaystyle n>3{,}5\) или при \(\displaystyle n \geqslant 4\) для натуральных \(\displaystyle n{\small;}\)
- \(\displaystyle 2n-7<0\) при \(\displaystyle n<3{,}5\) или при \(\displaystyle n \leqslant 3\) для натуральных \(\displaystyle n{\small.}\)
Значит,
- \(\displaystyle a_{n+1}-a_n>0\) или \(\displaystyle a_{n+1}> a_n\) при \(\displaystyle n \geqslant 4{\small;}\)
- \(\displaystyle a_{n+1}-a_n<0\) или \(\displaystyle a_{n+1}< a_n\) при \(\displaystyle n \leqslant 3{\small}\)
Таким образом, исходная последовательность не является ни возрастающей, ни убывающей.
Ответ: последовательность не является возрастающей; последовательность не является убывающей.