Исследуйте на монотонность последовательность, заданную формулой
\(\displaystyle a_n=\frac{(-1)^n \cdot 2}{n} {\small.}\)
Выберите верные утверждения.
По условию последовательность задана формулой \(\displaystyle n\)- го члена:
\(\displaystyle a_{\color{blue}{n}}=\frac{(-1)^\color{blue}{n} \cdot 2}{\color{blue}{n}} {\small.}\)
Последовательность, в которой каждый последующий член больше предыдущего, называется возрастающей.
Последовательность, в которой каждый последующий член меньше предыдущего, называется убывающей.
Рассмотрим разность двух членов последовательности
\(\displaystyle a_{n+1}-a_n{\small.}\)
Если для любых натуральных \(\displaystyle n\) \(\displaystyle a_{n+1}-a_n>0{\small, }\) то \(\displaystyle a_{n+1}>a_n{\small}\) и последовательность возрастающая.
Если для любых натуральных \(\displaystyle n\) \(\displaystyle a_{n+1}-a_n<0{\small, }\) то \(\displaystyle a_{n+1}<a_n{\small}\) и последовательность убывающая.
У нас:
\(\displaystyle a_\color{blue}{n}=\frac{(-1)^\color{blue}{n} \cdot 2}{\color{blue}{n}} \) и \(\displaystyle a_\color{blue}{n+1}=\frac{(-1)^\color{blue}{n+1} \cdot 2}{\color{blue}{n+1}} {\small.}\)
Найдём
\(\displaystyle a_{n+1}-a_n=\frac{(-1)^{n+1} \cdot 2}{n+1}-\frac{(-1)^n \cdot 2}{n}=(-1)^{n+1} \cdot \frac {4n+2}{n(n+1)}{\small.}\)
Заметим, что
\(\displaystyle (-1)^{n+1} \cdot \frac {4n+2}{n(n+1)}>0\) при нечётных значениях \(\displaystyle n{\small;}\)
\(\displaystyle (-1)^{n+1} \cdot \frac {4n+2}{n(n+1)}<0\) при чётных значениях \(\displaystyle n{\small.}\)
Значит,
- \(\displaystyle a_{n+1}-a_n>0\) или \(\displaystyle a_{n+1}> a_n\) при нечётном \(\displaystyle n {\small;}\)
- \(\displaystyle a_{n+1}-a_n<0\) или \(\displaystyle a_{n+1}< a_n\) при чётном \(\displaystyle n{\small}\)
Таким образом, исходная последовательность не является ни возрастающей, ни убывающей.
Ответ: последовательность не является возрастающей; последовательность не является убывающей.