Последовательность задана формулой
\(\displaystyle a_n=\frac{2n} {n+3}{\small.}\)
Возрастающей или убывающей является данная последовательность?
По условию последовательность задана формулой \(\displaystyle n\)- го члена:
\(\displaystyle a_{\color{blue}{n}}=\frac{2\color{blue}{n}} {\color{blue}{n}+3}{\small.}\)
Последовательность, в которой каждый последующий член больше предыдущего, называется возрастающей.
Последовательность, в которой каждый последующий член меньше предыдущего, называется убывающей.
Рассмотрим разность двух членов последовательности
\(\displaystyle a_{n+1}-a_n{\small.}\)
Если для любых натуральных \(\displaystyle n\) \(\displaystyle a_{n+1}-a_n>0{\small, }\) то \(\displaystyle a_{n+1}>a_n{\small}\) и последовательность возрастающая.
Если для любых натуральных \(\displaystyle n\) \(\displaystyle a_{n+1}-a_n<0{\small, }\) то \(\displaystyle a_{n+1}<a_n{\small}\) и последовательность убывающая.
У нас:
\(\displaystyle a_{\color{blue}{n}}=\frac{2\color{blue}{n}} {\color{blue}{n}+3}\) и \(\displaystyle a_\color{blue}{n+1}=\frac{2(\color{blue}{n+1})} {\color{blue}{n+1}+3}{\small.}\)
Упростим выражение для \(\displaystyle a_{n+1}\)
\(\displaystyle a_{n+1}=\frac{2(n+1)} {n+1+3}=\frac{2n+2} {n+4}{\small}\)
и найдем
\(\displaystyle a_{n+1}-a_n=\frac{2n+2} {n+4}-\frac{2n} {n+3}=\frac{6} {(n+3)(n+4)}{\small.}\)
Так как \(\displaystyle n\) натуральное число, то \(\displaystyle n\) положительно. Значит, знаменатель полученного выражения положителен и
\(\displaystyle \frac{6} {(n+3)(n+4)}>0{\small.}\)
Получили
\(\displaystyle a_{n+1}-a_n>0{\small}\) или \(\displaystyle a_{n+1}>a_n{\small}\)
при любых натуральных \(\displaystyle n{\small.}\)
Значит, исходная поcледовательность является возрастающей.
Ответ: данная последовательность возрастающая.