Найдите частное дробей и сократите получившуюся дробь:
Воспользуемся правилом.
Деление алгебраических дробей
Чтобы разделить одну дробь на другую, надо умножить первую дробь на дробь, обратную ко второй.
То есть для дробей \(\displaystyle \frac{a}{b}\) и \(\displaystyle \frac{c}{d}\) справедливо:
\(\displaystyle \frac{a}{b}:\color{red}{\frac{c}{d}}=\frac{a}{b}\cdot\color{red}{\frac{d}{c}}\small.\)
Получаем:
\(\displaystyle \begin{aligned}& \frac{b^3-12b^2+48b-64}{b^2-4b}: \frac{b^2-8b+16}{7b^3} =\\ \\& \qquad\qquad\qquad = \frac{b^3-12b^2+48b-64}{b^2-4b}\cdot \frac{7b^3}{b^2-8b+16} =\\ \\ & \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad =\frac{7b^3(b^3-12b^2+48b-64)}{(b^2-4b)(b^2-8b+16)} {\small .}\end{aligned} \)
Чтобы сократить дробь, разложим выражения в числителе и знаменателе на множители.
- Воспользуемся формулой куба разности:
\(\displaystyle \color{blue}{b^3-12b^2+48b-64}=b^3-3\cdot b^2\cdot4+3\cdot b\cdot 4^2-4^3=\color{blue}{(b-4)^3}{\small .}\)
- Вынесем за скобку общий множитель:
\(\displaystyle \color{green}{b^2-4b=b(b-4)}{\small .}\)
- Воспользуемся формулой квадрата разности:
\(\displaystyle \color{purple}{b^2-8b+16}={b}^2-2\cdot {b}\cdot 4+{4}^2=\color{purple}{(b-4)^2}{\small .}\)
Подставляя, получаем:
\(\displaystyle \frac{7b^3\color{blue}{(b^3-12b^2+48b-64)}}{\color{green}{(b^2-4b)}\color{purple}{(b^2-8b+16)}} = \frac{7b^3\color{blue}{(b-4)^3}}{\color{green}{b(b-4)}\color{purple}{(b-4)^2}}=\frac{7b^3(b-4)^3}{b(b-4)^3} {\small .}\)
Сокращая, получаем:
\(\displaystyle \frac{7\color{blue}{b^3}\color{green}{(b-4)^3}}{\color{blue}{b}\color{green}{(b-4)^3}}=\frac{7\,\color{blue}{b^{3-1}}\cancel{\color{green}{(b-4)^3}}}{\cancel{\color{green}{(b-4)^3}}} = 7b^2{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle 7b^2{\small .}\)