Найдите частное дробей и сократите получившуюся дробь:
Воспользуемся правилом.
Деление алгебраических дробей
Чтобы разделить одну дробь на другую, надо умножить первую дробь на дробь, обратную ко второй.
То есть для дробей \(\displaystyle \frac{a}{b}\) и \(\displaystyle \frac{c}{d}\) справедливо:
\(\displaystyle \frac{a}{b}:\color{red}{\frac{c}{d}}=\frac{a}{b}\cdot\color{red}{\frac{d}{c}}\small.\)
Получаем:
\(\displaystyle \frac{2x^2-8y^2}{xy-3x^2}:\frac{7x+14y}{6x-2y}=\frac{2x^2-8y^2}{xy-3x^2}\cdot \frac{6x-2y}{7x+14y}=\frac{(2x^2-8y^2)(6x-2y)}{(xy-3x^2) (7x+14y)}{\small .}\)
Чтобы сократить дробь, разложим выражения в числителе и знаменателе на множители:
- \(\displaystyle \color{blue}{2x^2-8y^2}=2(x^2-4y^2)=2(x^2-(2y)^2)=\color{blue}{2(x-2y)(x+2y)}\small,\)
- \(\displaystyle \color{0099ff}{xy-3x^2=x(y-3x)}\small,\)
- \(\displaystyle \color{green}{6x-2y=2(3x-y)}\small,\)
- \(\displaystyle \color{purple}{7x+14y=7(x+2y)}{\small .}\)
Подставляя, получаем:
\(\displaystyle \frac{\color{blue}{(2x^2-8y^2)}\color{green}{(6x-2y)}}{\color{0099ff}{(xy-3x^2)}\color{purple}{(7x+14y)}}=\frac{\color{blue}{2(x-2y)(x+2y)}\cdot\color{green}{2(3x-y)}}{\color{0099ff}{x(y-3x)}\cdot \color{purple}{7(x+2y)}}=\frac{4(x-2y)(x+2y)(3x-y)}{7x(y-3x)(x+2y)} {\small .}\)
Воспользуемся тем, что \(\displaystyle \color{green}{3x-y=-(y-3x)}\) и сократим дробь:
\(\displaystyle \begin{aligned}& \frac{4(x-2y)(x+2y)\color{green}{(3x-y)}}{7x(y-3x)(x+2y)} =\frac{\color{green}{-}4(x-2y){\cancel{\color{blue}{(x+2y)}}}\cancel{\color{green}{(y-3x)}}}{{7x\cancel{\color{green}{(y-3x)}}}\cancel{\color{blue}{(x+2y)}}}=\\ \\ & \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad= \frac{-4(x-2y)}{7x}=\frac{4(2y-x)}{7x}{\small .}\end{aligned} \)
Ответ: \(\displaystyle \frac{4(2y-x)}{7x} {\small .}\)