Выберите равенства, которые являются тождествами.
Тождеством называется равенство, верное при всех допустимых значениях входящих в него переменных.
Установим, являются данные равенства тождествами или нет.
Для этого попробуем преобразовать левую часть каждого равенства так, чтобы получить правую.
Сложим дроби с одинаковыми знаменателями:
\(\displaystyle \frac{3}{x+y}+\frac{5}{x+y}=\frac{3+5}{x+y}=\frac{8}{x+y}{\small. }\)
С помощью тождественного преобразования получили из выражения в левой части равенства выражение в правой.
Это означает, что выражения равны при любых допустимых значениях переменной \(\displaystyle x{\small .}\)
Следовательно, по определению, равенство \(\displaystyle \frac{3}{x+y}+\frac{5}{x+y}=\frac{8}{x+y}\) является тождеством.
Разделим число на дробь:
\(\displaystyle 9:\frac{x}{x+y}=\frac{9}{1}\cdot \frac{x+y}{x}=\frac{9(x+y)}{x}=\frac{9x+9y}{x}{\small. }\)
Итак, получаем:
- выражение в левой части равенства равно \(\displaystyle \color {blue}{\frac{9x+9y}{x}}{\small, }\)
- выражение в правой части равенства равно \(\displaystyle \color {green}{\frac{9x}{x+y}}{\small.}\)
По виду полученных дробей можем предположить, что исходные выражения не являются тождественно равными.
Докажем это.
Для этого найдём такие допустимые значения переменных \(\displaystyle x\) и \(\displaystyle y{\small,}\) при которых \(\displaystyle 9:\frac{x}{x+y}\) и \(\displaystyle \frac{9x}{x+y}\) принимают разные значения.
Например, при \(\displaystyle x=1\) и \(\displaystyle y=1\)
- значение выражения \(\displaystyle 9:\frac{x}{x+y}\) равно \(\displaystyle 9:\frac{1}{1+1}=9:\frac{1}{2}=9\cdot\frac{2}{1}=18{\small,}\)
- значение выражения \(\displaystyle \frac{9x}{x+y}\) равно \(\displaystyle \frac{9\cdot1}{1+1}=\frac{9}{2}{\small.}\)
Значит, равенство \(\displaystyle 9:\frac{x}{x+y}=\frac{9x}{x+y}\) не является тождеством.
Упростим выражение:
\(\displaystyle \frac{x^2-6xy}{x-6y}=\frac{x(x-6y)}{x-6y}=x{\small. }\)
С помощью тождественного преобразования получили из выражения в левой части равенства выражение в правой.
Это означает, что выражения равны при любых допустимых значениях переменной \(\displaystyle x{\small .}\)
Следовательно, по определению, равенство \(\displaystyle \frac{x^2-6xy}{x-6y}=x\) является тождеством.
Разложим выражение в числителе дроби по формуле разности квадратов и сократим дробь:
\(\displaystyle \frac{x^4-16y^4}{x^2+4y^2}=\frac{(x^2)^2-(4y^2)^2}{x^2+4y^2}=\frac{(x^2-4y^2)(x^2+4y^2)}{x^2+4y^2}=x^2-4y^2{\small. }\)
Итак, получаем:
- выражение в левой части равенства равно \(\displaystyle \color {blue}{x^2-4y^2}{\small, }\)
- выражение в правой части равенства равно \(\displaystyle \color {green}{x^2-2y^2}{\small.}\)
Многочлены \(\displaystyle \color {blue}{x^2-4y^2}{\small }\) и \(\displaystyle \color {green}{x^2-2y^2}{\small}\) имеют разный стандартный вид.
Значит, выражения \(\displaystyle \frac{x^4-16y^4}{x^2+4y^2}\) и \(\displaystyle x^2-2y^2\) не могут быть получены одно из другого.
Покажем, что они не являются тождественно равными.
Для этого найдём такие допустимые значения переменной, при которых выражения принимают разные значения.
Например, при \(\displaystyle x=0\) и \(\displaystyle y=1\)
- значение выражения \(\displaystyle \frac{x^4-16y^4}{x^2+4y^2}\) равно \(\displaystyle \frac{0^4-16\cdot 1^4}{0^2+4\cdot 1^2}=\frac{-16}{4}=-4{\small,}\)
- значение выражения \(\displaystyle x^2-2y^2\) равно \(\displaystyle 0^2-2\cdot 1^2=-2{\small.}\)
Значит, равенство \(\displaystyle \frac{x^4-16y^4}{x^2+4y^2}=x^2-2y^2\) не является тождеством.