Игральный кубик подбрасывается четыре раза. Рассматривается случайная величина \(\displaystyle X\)– частота выпадения шестерок. Найдите дисперсию \(\displaystyle X\small.\)
При однократном подбрасывании кубика вероятность выпадения шестерки равна \(\displaystyle \frac{1}{6}{\small.}\)
Значит, случайная величина \(\displaystyle X\)– это частота успеха в серии из четырех испытаний Бернулли с вероятностью успеха \(\displaystyle p=\frac{1}{6}{\small.}\)
Дисперсия частоты успеха в серии из \(\displaystyle n\) испытаний Бернулли с вероятностью успеха \(\displaystyle p{\small }\) равна
\(\displaystyle D(X)=\frac{p(1-p)}{n}{\small.}\)
Следовательно,
\(\displaystyle D(X)=\frac{ \frac{1}{6}\cdot \left(1-\frac{1}{6}\right)}{4}=\frac{1}{24} \cdot \frac{5}{6}=\frac{5}{144}{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle D(X)=\frac{5}{144}{\small.}\)