Игральный кубик подбрасывается \(\displaystyle n\) раз. Рассматривается случайная величина \(\displaystyle X\)– частота выпадения четвёрок. Найдите наименьшее значение \(\displaystyle n\small,\) при котором стандартное отклонение \(\displaystyle X\small\) не превосходит \(\displaystyle 0{,}04\small.\)
При однократном подбрасывании кубика вероятность выпадения четвёрки равна \(\displaystyle \frac{1}{6}{\small.}\)
Значит, случайная величина \(\displaystyle X\)– это частота успеха в серии из \(\displaystyle n\) испытаний Бернулли с вероятностью успеха \(\displaystyle p=\frac{1}{6}{\small.}\)
Дисперсия частоты успеха в серии из \(\displaystyle n\) испытаний Бернулли с вероятностью успеха \(\displaystyle p{\small }\) равна
\(\displaystyle D(X)=\frac{p(1-p)}{n}{\small.}\)
Следовательно,
\(\displaystyle D(X)=\frac{ \dfrac{1}{6}\cdot \left(1-\dfrac{1}{6}\right)}{n}=\frac{ \dfrac{1}{6}\cdot \dfrac{5}{6}}{n}=\frac{\phantom{0}\dfrac{5}{36}\phantom{0}}{n}=\frac{5}{36n}{\small.}\)
Тогда
\(\displaystyle \sigma (X)=\sqrt{D(X)}=\sqrt{\frac{5}{36n}}\small.\)
Требуется найти наименьшее натуральное значение \(\displaystyle n\small,\) при котором стандартное отклонение \(\displaystyle X\small\) не превосходит \(\displaystyle 0{,}04\small.\)
Значит, должно выполняться неравенство
\(\displaystyle \sqrt{\frac{5}{36n}} \leq 0{,}04{\small.}\)
Поскольку обе части неравенства положительны, можно обе части неравенства возвести в квадрат. Получим
\(\displaystyle {\frac{5}{36n}} \leq 0{,}0016{\small.}\)
После умножения обеих частей неравенства на \(\displaystyle 625n\small\) получим
\(\displaystyle \frac{3125}{36} \leq n{\small,}\)
\(\displaystyle n\geq \frac{3125}{36}{\small.}\)
Так как \(\displaystyle \frac{3125}{36}=86\frac{29}{36}{\small,}\)
\(\displaystyle n\geq 86\frac{29}{36}{\small.}\)
Наименьшее натуральное \(\displaystyle n\small,\) удовлетворяющее данному условию – это \(\displaystyle n=87\small.\)
Ответ: \(\displaystyle 87{\small.}\)