В таблице показано распределение случайной величины \(\displaystyle X{\small .}\) Найдите математическое ожидание \(\displaystyle E(X)\) этой случайной величины.
| Значение \(\displaystyle X\) | \(\displaystyle 2001\) | \(\displaystyle 7001\) | \(\displaystyle 8001\) | \(\displaystyle 10001\) |
| вероятность | \(\displaystyle 0{,}1\) | \(\displaystyle 0{,}1\) | \(\displaystyle 0{,}2\) | \(\displaystyle 0{,}6\) |
\(\displaystyle E(X)=\)
Случайная величина \(\displaystyle X-1\) принимает значения \(\displaystyle 2000\small,\) \(\displaystyle 7000\small,\) \(\displaystyle 8000\small,\) \(\displaystyle 10000\small.\)
А случайная величина \(\displaystyle \frac{ X-1}{1000}\) принимает значения \(\displaystyle 2\small,\) \(\displaystyle 7\small,\) \(\displaystyle 8\small,\) \(\displaystyle 10\small.\)
Чтобы упростить вычисление математического ожидания, воспользуемся следущим правилом:
Пусть математическое ожидание случайной величины \(\displaystyle X\) равно \(\displaystyle E(X)\small,\) \(\displaystyle a\)– произвольное число, \(\displaystyle c\)– произвольное число, отличное от нуля.
Тогда
\(\displaystyle E\left( \frac{X-a}{c} \right)=\frac{ E(X)-a}{c}\small.\)
при \(\displaystyle a=1\small,\) \(\displaystyle c=1000\small.\)
Получим
\(\displaystyle E\left( \frac{X-1}{1000} \right)=\frac{ E(X)-1}{1000}\small.\)
Для случайной величины \(\displaystyle \frac{ X-1}{1000}{ \small ,}\) заданной таблицей
| Значение \(\displaystyle \frac{ X-1}{1000}\) | \(\displaystyle 2\) | \(\displaystyle 7\) | \(\displaystyle 8\) | \(\displaystyle 10\) |
| вероятность | \(\displaystyle 0{,}1\) | \(\displaystyle 0{,}1\) | \(\displaystyle 0{,}2\) | \(\displaystyle 0{,}6\) |
получаем:
\(\displaystyle E\left(\frac{ X-1}{1000}\right)=2\cdot 0{,}1+7\cdot 0{,}1+8 \cdot 0{,}2+10\cdot 0{,}6{\small ,}\)
\(\displaystyle E\left(\frac{ X-1}{1000}\right)=8{,}5{\small .}\)
Следовательно,
\(\displaystyle \frac{ E(X)-1}{1000}=8{,}5{\small ,}\)
\(\displaystyle E(X)-1=1000\cdot 8{,}5=8500{\small .}\)
\(\displaystyle E(X)=8500+1=8501{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle 8501{\small .}\)