Случайная величина \(\displaystyle X\) имеет распределение.
Распределение \(\displaystyle X\)
| \(\displaystyle x\) | \(\displaystyle 100\) | \(\displaystyle 200\) | \(\displaystyle 300\) | \(\displaystyle 400\) |
| \(\displaystyle P(X=x)\) | \(\displaystyle 0{,}4\) | \(\displaystyle 0{,}1\) | \(\displaystyle 0{,}4\) | \(\displaystyle 0{,}1\) |
Найдите дисперсию \(\displaystyle X\small.\)
Используем правило
Пусть дисперсия случайной величины \(\displaystyle X\) равна \(\displaystyle D(X)\small,\) \(\displaystyle c\)– произвольное число, отличное от нуля.
Тогда
\(\displaystyle D\left(\frac{X}{c}\right)=\frac{D(X)}{c^2}\small.\)
при \(\displaystyle c=100\small.\)
Получим
\(\displaystyle D\left( \frac{X}{100} \right)=\frac{ D(X)}{100^2}=\frac{ D(X)}{10000}\small.\)
Для случайной величины \(\displaystyle \frac{ X}{100}{ \small ,}\) заданной таблицей
| Значение \(\displaystyle \frac{ X}{100}\) | \(\displaystyle 1\) | \(\displaystyle 2\) | \(\displaystyle 3\) | \(\displaystyle 4\) |
| вероятность | \(\displaystyle 0{,}4\) | \(\displaystyle 0{,}1\) | \(\displaystyle 0{,}4\) | \(\displaystyle 0{,}1\) |
получаем математическое ожидание:
\(\displaystyle E\left( \frac{X}{100} \right)=1\cdot 0{,}4+2\cdot 0{,}1+3 \cdot 0{,}4+4\cdot 0{,}1{\small ,}\)
\(\displaystyle E\left( \frac{X}{100} \right)=2{,}2{\small .}\)
Найдем дисперсию:
\(\displaystyle D\left( \frac{X}{100} \right)=(1-2{,}2)^2\cdot 0{,}4+(2-2{,}2)^2\cdot0{,}1+(3-2{,}2)^2\cdot0{,}4+(4-2{,}2)^2\cdot0{,}1\small,\)
\(\displaystyle D\left( \frac{X}{100} \right)=(-1{,}2)^2\cdot 0{,}4+(-0{,}2)^2\cdot0{,}1+(0{,}8)^2\cdot0{,}4+(1{,}8)^2\cdot0{,}1\small,\)
\(\displaystyle D\left( \frac{X}{100} \right)=1{,}44\cdot0{,}4+0{,}04\cdot0{,}1+0{,}64\cdot0{,}4+3{,}24\cdot0{,}1=1{,}16\small.\)
Следовательно,
\(\displaystyle \frac{ D(X)}{10000}=1{,}16\small,\)
\(\displaystyle { D(X)}={10000}\cdot 1{,}16\small,\)
\(\displaystyle { D(X)}=11600\small.\)
Ответ: \(\displaystyle D(X)=11600\small.\)