Заполните пропуски, чтобы получилось верное решение задачи.
Задача
Докажите, что для любого натурального \(\displaystyle n\) выражение \(\displaystyle 9^n+3\) кратно \(\displaystyle 4\small.\)
Решим задачу методом математической индукции.
1. Базис индукции.
Это число
2. Индуктивный шаг.
По предположению индукции \(\displaystyle 9^k+3\) делится на \(\displaystyle 4\small.\)
Необходимо доказать, что тогда и \(\displaystyle 9^{k+1}+3\) делится на \(\displaystyle 4\small.\)
Для этого выделим из \(\displaystyle 9^{k+1}+3\) выражение \(\displaystyle 9^k+3{\small:}\)
\(\displaystyle 9^{k+1}+3=\)\(\displaystyle \cdot(9^k+3)-\)
Рассмотрим правую часть. Первое слагаемое кратно \(\displaystyle 4\) по предположению индукции, второе слагаемое – число кратное \(\displaystyle 4\small.\)
Значит, \(\displaystyle 9^{k+1}+3\) кратно \(\displaystyle 4\small.\)
Метод математической индукции
Чтобы доказать утверждение с помощью метода математической индукции, необходимо проверить два условия:
1. Базис индукции (База индукции):
- утверждение верно для \(\displaystyle n=1\small.\)
2. Индуктивный шаг (Индукционный переход):
- из справедливости утверждения для \(\displaystyle n=k\) следует его справедливость для \(\displaystyle n=k+1\small.\)
1. Базис индукции.
Если в выражение \(\displaystyle 9^n+3\) подставить \(\displaystyle n=1\small,\) получим:
\(\displaystyle 9^1+3=9+3=12\small.\)
Число \(\displaystyle 12\) кратно \(\displaystyle 4\small,\) то есть утверждение верно для \(\displaystyle n=1\small.\)
2. Индуктивный шаг.
По предположению индукции \(\displaystyle 9^k+3\) делится на \(\displaystyle 4\small.\)
Необходимо доказать, что тогда и \(\displaystyle 9^{k+1}+3\) делится на \(\displaystyle 4\small.\) Для этого нужно воспользоваться индуктивным предположением.
Выделим из \(\displaystyle 9^{k+1}+3\) выражение \(\displaystyle 9^k+3{\small:}\)
\(\displaystyle 9^{k+1}+3=9\cdot 9^k+3=9\cdot(9^k+3)-24\small.\)
По предположению индукции \(\displaystyle (9^k+3)\) кратно \(\displaystyle 4\small.\) Тогда и произведение \(\displaystyle 9\cdot(9^k+3)\) кратно \(\displaystyle 4\small.\)
Число \(\displaystyle 24\) кратно \(\displaystyle 4\small.\) Разность двух чисел, кратных \(\displaystyle 4{ \small ,}\) кратна \(\displaystyle 4{\small:}\)
\(\displaystyle 9\cdot(9^k+3)-24\) кратно \(\displaystyle 4\small.\)
Значит, \(\displaystyle 9^{k+1}+3\) кратно \(\displaystyle 4\small.\)
То есть утверждение верно для \(\displaystyle n=k+1\small.\)