Заполните пропуски, чтобы получилось верное решение задачи.
Задача
Докажите, что сумма квадратов первых \(\displaystyle n\) натуральных чисел равна \(\displaystyle \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\small.\)
\(\displaystyle 1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\small.\)
Решим задачу методом математической индукции.
Получаем:
Равенство выполнено.
2. Индуктивный шаг. Запишем утверждение для \(\displaystyle n=k{\small:}\)
Оно верно по предположению индукции.
Преобразуем сумму квадратов \(\displaystyle k+1\) первых натуральных чисел.
Используя предположение индукции, заменим сумму первых \(\displaystyle k\) слагаемых на одно выражение:
\(\displaystyle 1^2+2^2+3^2+\ldots+k^2+(k+1)^2=\)\(\displaystyle +(k+1)^2\)
Упрощая выражение, получаем:
Это и есть правая часть формулы для \(\displaystyle n=k+1\small.\) То есть утверждение доказано.
Метод математической индукции
Чтобы доказать утверждение с помощью метода математической индукции, необходимо проверить два условия:
1. Базис индукции (База индукции):
- утверждение верно для \(\displaystyle n=1\small.\)
2. Индуктивный шаг (Индукционный переход):
- из справедливости утверждения для \(\displaystyle n=k\) следует его справедливость для \(\displaystyle n=k+1\small.\)
Решим задачу методом математической индукции.
1. Базис индукции. Чтобы проверить базис индукции, проверим утверждение для \(\displaystyle n=1\small.\)
Получаем:
\(\displaystyle 1^2=\frac{1\cdot(1+1)\cdot(2\cdot1+1)}{6}\small.\)
Правая часть выражения \(\displaystyle \frac{1\cdot(1+1)\cdot(2\cdot1+1)}{6}=\frac{\color{blue}{1 \cdot 2 \cdot 3}}{6}=\frac{6}{6}=1\small,\) то есть утверждение верно для \(\displaystyle n=1\small.\)
2. Индуктивный шаг. Запишем утверждение для \(\displaystyle n=k{\small:}\)
\(\displaystyle 1^2+2^2+3^2+\ldots+k^2=\frac{k\cdot(k+1)\cdot(2k+1)}{6}\small.\)
По предположению индукции оно верно.
Преобразуем сумму квадратов \(\displaystyle k+1\) первых натуральных чисел
\(\displaystyle 1^2+2^2+3^2+\ldots+k^2+(k+1)^2\small.\)
Используя предположение индукции, заменим сумму первых \(\displaystyle k\) слагаемых на \(\displaystyle \frac{k\cdot(k+1)\cdot(2k+1)}{6}{\small:}\)
\(\displaystyle \color{blue}{1^2+2^2+3^2+\ldots+k^2}+(k+1)^2=\color{blue}{\frac{k\cdot(k+1)\cdot(2k+1)}{6}}+(k+1)^2\small.\)
\(\displaystyle {\frac{k\cdot(k+1)\cdot(2k+1)}{6}}+(k+1)^2=\frac{(k+1)(k+2)(2(k+1)+1)}{6}\small.\)
Упростим выражение.
Приведем слагаемые к общему знаменателю:
\(\displaystyle {\frac{k\cdot(k+1)\cdot(2k+1)}{6}}+(k+1)^2=\frac{k\cdot(k+1)\cdot(2k+1)+6(k+1)^2}{6}\small.\)
Вынесем общий множитель \(\displaystyle k+1\)за скобку:
\(\displaystyle \frac{k\cdot(k+1)\cdot(2k+1)+6(k+1)^2}{6}=\frac{(k+1)(k(2k+1)+6(k+1))}{6}=\frac{(k+1)(2k^2+7k+6)}{6}\small.\)
Остается проверить, что выражения \(\displaystyle (2k^2+7k+6)\) и \(\displaystyle (k+2)(2(k+1)+1)\) равны. Например, это можно сделать, раскрыв скобки во втором выражении:
\(\displaystyle (k+2)(2(k+1)+1)=(k+2)(2k+3)=2k^2+7k+6\small.\)
Таким образом, получаем:
\(\displaystyle \frac{(k+1)\color{blue}{(2k^2+7k+6)}}{6}=\frac{(k+1)\color{blue}{(k+2)(2(k+1)+1)}}{6}\small.\)
Получаем, что утверждение верно для \(\displaystyle n=k+1\small.\)
Значит, утверждение доказано для любого натурального \(\displaystyle n\) с помощью метода математической индукции.