Заполните пропуски, чтобы получилось верное решение задачи.
Задача
Докажите, что для любого натурального \(\displaystyle n\geqslant5\) справедливо неравенство:
\(\displaystyle 2^n>5n+1\small.\)
Решим задачу методом математической индукции.
| \(\displaystyle 2\) | \(\displaystyle 5\cdot\) |
2. Индуктивный шаг.
Предположение индукции будет состоять в том, что утверждение верно для \(\displaystyle n=k{\small:}\)
\(\displaystyle 2^k>5k+1\small.\)
Необходимо доказать утверждение для \(\displaystyle n=k+1{\small.}\)
Чтобы воспользоваться предположением индукции, выразим \(\displaystyle 2^{k+1}\) через \(\displaystyle 2^k{\small:}\)
Используя предположение индукции, заменим \(\displaystyle 2^k\) на \(\displaystyle 5k+1\small,\) получаем:
\(\displaystyle 2^{k+1}\)\(\displaystyle \cdot(5k+1)\)
Осталось сравнить выражения \(\displaystyle 10k+2\) и \(\displaystyle 5(k+1)+1\) для \(\displaystyle k\geqslant5{\small:}\)
\(\displaystyle 10k+2\) \(\displaystyle 5(k+1)+1{\small.}\)
Получаем, что неравенство верно и для \(\displaystyle n=k+1{\small:}\)
\(\displaystyle 2^{k+1}>10k+2>5(k+1)+1{\small.}\)
Метод математической индукции
Чтобы доказать утверждение с помощью метода математической индукции, необходимо проверить два условия:
1. Базис индукции (База индукции):
- утверждение верно для \(\displaystyle n=1\small.\)
2. Индуктивный шаг (Индукционный переход):
- из справедливости утверждения для \(\displaystyle n=k\) следует его справедливость для \(\displaystyle n=k+1\small.\)
1. Базис индукции.
Минимальное \(\displaystyle n\small,\) для которого нужно доказать утверждение, равно \(\displaystyle 5\small.\)
Проверим базис индукции для \(\displaystyle n=5{\small:}\)
\(\displaystyle 2^5=32>26=5\cdot5+1\small.\)
То есть утверждение верно для \(\displaystyle n=5\small.\)
2. Индуктивный шаг.
Предположение индукции будет состоять в том, что утверждение верно для \(\displaystyle n=k{\small:}\)
\(\displaystyle 2^k>5k+1\small.\)
Необходимо доказать утверждение для \(\displaystyle n=k+1{\small:}\)
\(\displaystyle 2^{k+1}>5(k+1)+1\small.\)
Чтобы воспользоваться предположением индукции, выразим \(\displaystyle 2^{k+1}\) через \(\displaystyle 2^k{\small:}\)
\(\displaystyle 2^{k+1}=2\cdot2^k\small.\)
Используя предположение индукции, заменим \(\displaystyle 2^k\) на \(\displaystyle 5k+1\small,\) получаем:
\(\displaystyle 2^{k+1}=2\cdot\color{blue}{2^k}>2\cdot\color{blue}{(5k+1)}=10k+2\small.\)
Убедимся, что \(\displaystyle 10k+2\) больше, чем \(\displaystyle 5(k+1)+1\) при \(\displaystyle k\geqslant5{\small.}\) Проверим это неравенство:
\(\displaystyle 10k+2 \color{red}{ >} 5(k+1)+1{ \small ,}\)
\(\displaystyle 10k+2 \color{red}{ >} 5k+6{ \small ,}\)
\(\displaystyle 5k\color{red}{ >} 4{ \small .}\)
Получившееся неравенство всегда верно при \(\displaystyle k\geqslant5{\small.}\)
Тогда получаем, что неравенство верно и для \(\displaystyle n=k+1{\small:}\)
\(\displaystyle 2^{k+1}>10k+2>5(k+1)+1{\small.}\)
То есть утверждение доказано для любого натурального \(\displaystyle n\) с помощью метода математической индукции.