Случайная величина \(\displaystyle X\) имеет геометрическое распределение с \(\displaystyle E(X)=7{\small.}\) Найдите стандартное отклонение \(\displaystyle X\small.\)
Сначала найдем параметр геометрического распределения, затем дисперсию, а потом – стандартное отклонение \(\displaystyle X\small.\)
Математическое ожидание случайной величины \(\displaystyle X{\small,}\) имеющей геометрическое распределение с параметром \(\displaystyle p{\small, }\) равно
\(\displaystyle E(X)=\frac{1}{p}{\small.}\)
Тогда
\(\displaystyle \frac{1}{p}=7{\small.}\)
Значит,
\(\displaystyle p=\frac{1}{7}{\small.}\)
Дисперсия случайной величины \(\displaystyle X{\small,}\) имеющей геометрическое распределение с параметром \(\displaystyle p{\small, }\) равна
\(\displaystyle D(X)=\frac{1-p}{p^2}{\small.}\)
Следовательно,
\(\displaystyle D(X)=\frac{1-\dfrac{1}{7}}{\left(\dfrac{1}{7}\right)^2}=\frac{\dfrac{6}{7}}{\dfrac{1}{7} \cdot \dfrac{1}{7}}=\frac{\phantom{0}6\phantom{0}}{\dfrac{1}{7}}=42{\small.}\)
Получаем
\(\displaystyle \sigma (X)=\sqrt{D(X)}=\sqrt{42}\small.\)
Ответ: \(\displaystyle \sigma (X)=\sqrt{42}{\small.}\)