В кинотеатре два кофейных автомата, связанные между собой. Вероятность того, что к вечеру кофе закончится в первом автомате, равна \(\displaystyle 0{,}2{\small . }\) Вероятность того, что к вечеру кофе закончится во втором автомате, равна \(\displaystyle 0{,}2{\small . }\) Вероятность того, что кофе закончится хотя бы в одном автомате, равна \(\displaystyle 0{,}29{\small . }\)
Найдите вероятность того, что к вечеру кофе останется хотя бы в одном автомате.
Событие, что к вечеру кофе останется хотя бы в одном автомате, противоположно событию, что к вечеру кофе закончится в обоих автоматах.
Сначала найдем вероятность того, что к вечеру кофе закончится в обоих автоматах сразу. Потом найдем вероятность того, что к вечеру кофе останется хотя бы в одном автомате.
Пусть события
\(\displaystyle A\) – в первом автомате закончится кофе,
\(\displaystyle B\) – во втором автомате закончится кофе.
Тогда
\(\displaystyle A\cup B \) – кофе закончится хотя бы в одном автомате.
По условию известно, что \(\displaystyle P(A)=P(B)=0{,}2\) и \(\displaystyle P(A\cup B)=0{,}29{\small . }\)
Найдем вероятность события "кофе закончился в первом и во втором автомате", то есть \(\displaystyle P(A\cap B){\small . }\)
По правилу
Правило сложения вероятностей
Вероятность объединения двух событий равна сумме их вероятностей без вероятности их пересечения:
\(\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\)
получаем
\(\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B){\small ,}\)
\(\displaystyle 0{,}29=0{,}2+0{,}2-P(A\cap B){\small ,}\)
\(\displaystyle P(A\cap B)=-0{,}29+0{,}2+0{,}2{\small ,}\)
\(\displaystyle P(A\cap B)=0{,}11{\small .}\)
Событие "к вечеру кофе останется хотя бы в одном автомате" противоположно событию "к вечеру кофе закончится в обоих автоматах".
Тогда искомая вероятность составляет
\(\displaystyle 1-0{,}11=0{,}89{\small .}\)
Ответ:\(\displaystyle 0{,}89{\small . }\)