На плоскости выбраны две точки \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B{\small .}\)
Через точку \(\displaystyle A\) проведены четыре прямые. Через точку \(\displaystyle B~-\) пять прямых. Среди проведённых прямых нет прямой \(\displaystyle AB{\small .}\)
Каково наименьшее число точек плоскости, через каждую из которых проходят ровно две из проведённых прямых?
точек.
Через две точки плоскости проходит только одна прямая.
Поэтому точки прямой \(\displaystyle AB\) не подходят. Любая из прямых, проходящих через такую точку и одну из точек \(\displaystyle A\) или \(\displaystyle B{\small ,}\) является прямой \(\displaystyle AB{\small .}\) А она, по условию, не проводилась.
Через любую точку \(\displaystyle M\) вне этой прямой могут проходить не более двух из рассматриваемых прямых. Причём одна из прямых такой пары проходит через точку \(\displaystyle A\small,\) а другая \(\displaystyle -\) через точку \(\displaystyle B{\small .}\)
Каждая составленная таким образом пара прямых может дать
- ровно одну подходящую точку, если прямые пересекаются,
- или ни одной точки, если прямые параллельны.
Выбирая одну из четырёх прямых, проходящих через точку \(\displaystyle A{\small ,}\) и одну из пяти прямых, проходящих через точку \(\displaystyle B{\small ,}\) получим \(\displaystyle 4\cdot 5=20\) пар, которые могут давать до двадцати точек пересечения.
Число рассматриваемых точек может быть меньше, только если в некоторых парах прямые параллельны.
Через точку \(\displaystyle B\) можно провести ровно одну прямую, параллельную выбранной прямой, проходящей через точку \(\displaystyle A{\small .}\)
Поэтому для каждой из четырёх прямых, проходящих через точку \(\displaystyle A{\small ,}\) может быть проведена только одна параллельная ей прямая, составляющая с ней пару.
То есть только в четырёх парах из двадцати прямые могут оказаться параллельными.
Значит, наименьшее число рассматриваемых точек равно \(\displaystyle 20-4=16\) штук.
Ответ: \(\displaystyle 16\) точек.