Решите уравнение:
\(\displaystyle \frac{1}{x-2} = \frac{1}{x} + \frac{1}{x-3}{\small.}\)
Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.
Если уравнение не имеет корней, оставьте поле ответа пустым.
Для того чтобы решить уравнение
\(\displaystyle \frac{1}{x-2} = \frac{1}{x} + \frac{1}{x-3}{\small ,}\)
перенесем все члены уравнения в левую часть:
\(\displaystyle \frac{1}{x-2} - \frac{1}{x} - \frac{1}{x-3} = 0{\small }\)
и приведем дроби к общему знаменателю.
\(\displaystyle \frac{x(x-3) - (x-2)(x-3) - x(x-2)}{x(x-2)(x-3)} = 0{ \small .}\)
Уравнение \(\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}=0\) равносильно системе \(\displaystyle \begin{cases} f(x)=0{\small , } \\ g(x)=\not 0{\small . } \end{cases}\)
Получим уравнение
\(\displaystyle \frac{-x^2 + 4x - 6}{x(x-2)(x-3)} = 0{ \small ,}\)
равносильное системе
\(\displaystyle \begin{cases}-x^2 + 4x - 6 = 0{\small , } \\x(x-2)(x-3) =\not 0{\small . }\end{cases}\)
Так как уравнение системы не имеет действительных корней, то система не имеет решений.
Значит, исходное уравнение не имеет действительных корней и множество его решений пусто.
Ответ: нет решений.