Решите уравнение:
\(\displaystyle \frac{x-4}{x-3} = \frac{7}{x+5} + \frac{x}{x+2}{\small .}\)
Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.
Если уравнение не имеет корней, оставьте поле ответа пустым.
Для того чтобы решить уравнение
\(\displaystyle \frac{x-4}{x-3} = \frac{7}{x+5} + \frac{x}{x+2}{\small ,}\)
перенесём все члены уравнения в левую часть:
\(\displaystyle \frac{x-4}{x-3} - \frac{7}{x+5} - \frac{x}{x+2} = 0\)
и приведём дроби к общему знаменателю.
\(\displaystyle \frac{(x-4)(x+5)(x+2) - 7(x-3)(x+2) - x(x-3)(x+5)}{(x-3)(x+5)(x+2)} = 0{ \small .}\)
Уравнение \(\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}=0\) равносильно системе \(\displaystyle \begin{cases} f(x)=0{\small , } \\ g(x)=\not 0{\small . } \end{cases}\)
Получим уравнение
\(\displaystyle \frac{-6x^2 + 4x + 2}{(x-3)(x+5)(x+2)} = 0{ \small }\)
или (после умножения обеих частей уравнения на \(\displaystyle -1\))
\(\displaystyle \frac{6x^2 - 4x - 2}{(x-3)(x+5)(x+2)} = 0{ \small, }\)
равносильное системе
\(\displaystyle \begin{cases} 6x^2 - 4x - 2=0{\small , } \\ (x-3)(x+5)(x+2) =\not 0{\small . } \end{cases}\)
Уравнение \(\displaystyle 3x^2 - 2x - 1 = 0\) имеет корни \(\displaystyle x = 1\) и \(\displaystyle x = -\frac{1}{3}{\small .}\)
\(\displaystyle (x-3)(x+5)(x+2)=\not 0\) при \(\displaystyle x=\not 3\), \(\displaystyle x=\not -5\) и \(\displaystyle x=\not -2{\small .}\)
Получили:
\(\displaystyle \begin{cases}x = -\dfrac{1}{3},\ x = 1{\small , } \\[5px] x=\not 3{\small ,}\ x=\not -5{\small ,}\ x=\not -2{\small . } \end{cases}\)
Значит, \(\displaystyle x=1\) и \(\displaystyle x=-\frac{1}{3}\) являются корнями исходного уравнения.
В ответе укажем больший из корней – это \(\displaystyle 1{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle 1{\small .}\)