Для того чтобы решить рациональное уравнение
\(\displaystyle \frac{3x-2}{x-1}-\frac{2x+3}{x+3}=\frac{12x+4}{(x-1)(x+3)}{\small,}\)
- приведем его к виду \(\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}=0{\small;}\)
- воспользуемся правилом
ПравилоУравнение \(\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}=0\) равносильно системе \(\displaystyle \begin{cases} f(x)=0{\small , } \\ g(x)=\not 0{\small . } \end{cases}\)
Перенесем все члены уравнения в левую часть:
\(\displaystyle \frac{3x-2}{x-1}-\frac{2x+3}{x+3}-\frac{12x+4}{(x-1)(x+3)}=0{\small .}\)
Приведём дроби к общему знаменателю \(\displaystyle (x-1)(x+3){\small .}\)
Приведем выражение \(\displaystyle \frac{3x-2}{x-1}-\frac{2x+3}{x+3}-\frac{12x+4}{(x-1)(x+3)}\) к общему знаменателю \(\displaystyle (x-1)(x+3){\small .}\)
Получаем:
\(\displaystyle \begin{aligned}\frac{3x-2}{x-1}&-\frac{2x+3}{x+3}-\frac{12x+4}{(x-1)(x+3)}=\\[10px]&=\frac{(3x-2)(x+3)-(2x+3)(x-1)-(12x+4)}{(x-1)(x+3)}{ \small .}\end{aligned}\)
Раскроем в числителе скобки и приведем подобные:
\(\displaystyle \begin{aligned}(3x-2)(x+3)&-(2x+3)(x-1)-(12x+4)=\\&=3x^2+9x-2x-6-(2x^2-2x+3x-3)-12x-4=\\&=3x^2+7x-6-2x^2+2x-3x+3-12x-4=\\&=x^2-6x-7{\small .}\end{aligned}\)
Значит,
\(\displaystyle \frac{3x-2}{x-1}-\frac{2x+3}{x+3}-\frac{12x+4}{(x-1)(x+3)}=\frac{x^2-6x-7}{(x-1)(x+3)}{\small .}\)
Получим уравнение
\(\displaystyle \frac{x^2-6x-7}{(x-1)(x+3)}=0{ \small ,}\)
равносильное системе
\(\displaystyle \begin{cases} x^2-6x-7=0{\small , } \\ (x-1)(x+3)=\not 0{\small . } \end{cases}\)
Квадратное уравнение \(\displaystyle x^2-6x-7=0\) имеет корни \(\displaystyle x=7\) и \(\displaystyle x=-1{\small .}\)
Найдём дискриминант
\(\displaystyle {\rm D}=(-6)^2-4 \cdot(-7)=36+28=64\)
и
\(\displaystyle \sqrt{\rm D}=\sqrt {64}=8{\small .}\)
Тогда
\(\displaystyle \begin{aligned}x_1&=\frac{6+8}{2 }=7{ \small ,}\\[5px]x_2&=\frac{6-8}{2}=-1{\small .}\end{aligned}\)
\(\displaystyle (x-1)(x+3)=\not 0\) при \(\displaystyle x=\not1\) и \(\displaystyle x=\not-3{\small .}\)
Найдем значения \(\displaystyle x{ \small ,}\) при которых \(\displaystyle (x-1)(x+3)\,\cancel{=}\,0{ \small :}\)
| \(\displaystyle x-1=\not 0\) | и | \(\displaystyle x+3=\not 0{ \small ,}\) |
| \(\displaystyle x=\not 1{ \small ,}\) | | \(\displaystyle x=\not-3{\small .}\) |
Получили:
\(\displaystyle \begin{cases} x=7{ \small ,}\, \,x=-1{\small , } \\[5px] x=\not1{ \small ,}\, \,x=\not-3{\small . } \end{cases}\)
Значит: \(\displaystyle x=7\) является корнем исходного уравнения,
\(\displaystyle x=-1\) является корнем исходного уравнения.
\(\displaystyle 7=\not1{ \small ,}\) \(\displaystyle 7=\not-3{ \small }\)
и
\(\displaystyle -1=\not\,1{ \small ,}\) \(\displaystyle -1=\not-3{ \small .}\)
Значит, \(\displaystyle x=7\) и \(\displaystyle x=-1\) являются решениями системы, а значит, и уравнения.
Таким образом, исходное уравнение имеет два корня: \(\displaystyle x=7\) и \(\displaystyle x=-1{\small .}\)
В ответе укажем меньший из корней: \(\displaystyle x=-1{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle x=-1{\small .}\)