Для того чтобы решить дробно-рациональное уравнение
\(\displaystyle \frac{2}{x-2}-\frac{10}{x+3}=\frac{50}{(x-2)(x+3)}-1 {\small,}\)
- приведем его к виду \(\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}=0{\small,}\)
- воспользуемся правилом
ПравилоУравнение \(\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}=0\) равносильно системе \(\displaystyle \begin{cases} f(x)=0{\small , } \\ g(x)=\not0{\small . } \end{cases}\)
Перенесём все члены уравнения в левую часть
\(\displaystyle \frac{2}{x-2}-\frac{10}{x+3}-\frac{50}{(x-2)(x+3)}+1=0{\small .}\)
и приведём выражения в левой части уравнения к общему знаменателю \(\displaystyle (x-2)(x+3){\small .}\)
Приведем выражение \(\displaystyle \frac{2}{x-2}-\frac{10}{x+3}-\frac{50}{(x-2)(x+3)}+1\) к общему знаменателю \(\displaystyle (x-2)(x+3){\small .}\)
Получаем:
\(\displaystyle \begin{aligned}\frac{2}{x-2}&-\frac{10}{x+3}-\frac{50}{(x-2)(x+3)}+1=\\[10px]&=\frac{2(x+3)-10(x-2)-50+1(x+3)(x-2)}{(x-2)(x+3)}{ \small .}\end{aligned}\)
Раскроем в числителе скобки и приведем подобные:
\(\displaystyle \begin{aligned}2(x+3)&-10(x-2)-50+1(x+3)(x-2)=\\&=2x+6-10x+20-50 +x^2-2x+3x-6=\\&=x^2-7x-30{\small .}\end{aligned}\)
Значит,
\(\displaystyle \frac{2}{x-2}-\frac{10}{x+3}-\frac{50}{(x-2)(x+3)}+1=\frac{x^2-7x-30}{(x-2)(x+3)}{\small .}\)
Получим уравнение
\(\displaystyle \frac{x^2-7x-30}{(x-2)(x+3)}=0{ \small ,}\)
равносильное системе
\(\displaystyle \begin{cases} x^2-7x-30=0{\small , } \\ (x-2)(x+3)=\not0{\small . } \end{cases}\)
Квадратное уравнение \(\displaystyle x^2-7x-30=0\) имеет корни \(\displaystyle x=10\) и \(\displaystyle x=-3{\small .}\)
Найдём дискриминант
\(\displaystyle {\rm D}=(-7)^2-4 \cdot(-30)=49+120=169\)
и
\(\displaystyle \sqrt{\rm D}=\sqrt {169}=13{\small .}\)
Тогда
\(\displaystyle \begin{aligned}x_1&=\frac{7+13}{2 }=10{ \small ,}\\[5px]x_2&=\frac{7-13}{2}=-3{\small .}\end{aligned}\)
\(\displaystyle (x-2)(x+3)=\not0\) при \(\displaystyle x=\not \, 2\) и \(\displaystyle x=\not-3{\small .}\)
Найдем значения \(\displaystyle x{ \small ,}\) при которых \(\displaystyle (x-2)(x+3)=\not0{ \small :}\)
| \(\displaystyle x-2=\not0\) | и | \(\displaystyle x+3=\not0{ \small ,}\) |
| \(\displaystyle x=\not2{ \small ,}\) | | \(\displaystyle x=\not -3{\small .}\) |
Получили:
\(\displaystyle \begin{cases} x=10{ \small ,}\, \,x=-3{\small , } \\[5px] x=\not \, 2{ \small ,}\, \,x=\not -3{\small . } \end{cases}\)
Значит: \(\displaystyle x=10\) является корнем исходного уравнения,
\(\displaystyle x=-3\) не является корнем исходного уравнения.
\(\displaystyle 10=\not \, 2{ \small ,}\) \(\displaystyle 10=\not-3{ \small ,}\)
и
\(\displaystyle -3=\not \,2{ \small ,}\) \(\displaystyle \color{red}{-3=-3}{ \small .}\)
Таким образом, исходное уравнение имеет один корень \(\displaystyle x=10{\small ,}\) который и укажем в ответе.
Ответ: \(\displaystyle x=10{\small .}\)