В окружность радиуса \(\displaystyle 4\) вписан правильный \(\displaystyle 6\)-угольник. Найдите его площадь.
Площадь правильного \(\displaystyle n\) - угольника равна
\(\displaystyle S=\frac{Pr}{2}\small,\)
где \(\displaystyle P\)– периметр \(\displaystyle n\) - угольника, а \(\displaystyle r\)– радиус окружности, вписанной в этот \(\displaystyle n\) - угольник.
Чтобы найти площадь, найдем:
- периметр \(\displaystyle 6\)-угольника,
- радиус вписанной окружности \(\displaystyle 6\)-угольника.
Если \(\displaystyle R\) – радиус описанной окружности правильного \(\displaystyle n\)-угольника, а \(\displaystyle a_n\) – длина его стороны, то
\(\displaystyle a_n=2R\cdot\sin\left(\frac{180^{\circ}}{n}\right)\small.\)
Тогда
\(\displaystyle a_6=2\cdot4\cdot\sin\left(\frac{180^{\circ}}{6}\right)=8\cdot\sin30^{\circ}=4\small.\)
Периметр многоугольника равен сумме длин его сторон. Значит, периметр правильного \(\displaystyle 6\)-угольника со стороной \(\displaystyle a_6=4\) равен
\(\displaystyle P=6\cdot a_6=6\cdot4=24\small.\)
Если \(\displaystyle R\) – радиус описанной окружности правильного \(\displaystyle n\)-угольника, а \(\displaystyle r\) – радиус вписанной окружности, то
\(\displaystyle r=R\cdot\cos\left(\frac{180^{\circ}}{n}\right)\small.\)
Тогда
\(\displaystyle r=4\cdot\cos\left(\frac{180^{\circ}}{6}\right)=4\cdot\cos30^{\circ}=2\sqrt{3}\small.\)
Теперь можем воспользоваться формулой для нахождения площади:
\(\displaystyle S=\frac{Pr}{2}=\frac{24\cdot2\sqrt{3}}{2}=24\sqrt{3}\small.\)
Ответ: \(\displaystyle S=24\sqrt{3}\small.\)