В окружность радиуса \(\displaystyle R=4\sqrt{3}\) вписан правильный многоугольник. Известно, что его площадь в \(\displaystyle 3\) раза больше периметра. Найдите количество вершин этого многоугольника.
\(\displaystyle n=\)
Из условия известно отношение площади к периметру многоугольника и радиус описанной окружности.
Чтобы решить задачу:
- из отношения площади к периметру найдем радиус вписанной окружности многоугольника;
- сравнивая радиусы вписанной и описанной окружностей, найдем число вершин многоугольника.
Будем использовать обозначения:
- \(\displaystyle R\) – радиус описанной окружности многоугольника, \(\displaystyle r\) – радиус вписанной окружности многоугольника,
- \(\displaystyle S\) – площадь многоугольника, \(\displaystyle P\) – периметр.
1. Площадь многоугольника в \(\displaystyle 3\) раза больше периметра, то есть
\(\displaystyle \frac{S}{P}=3\small.\)
Поскольку площадь правильного многоугольника можно вычислить по формуле \(\displaystyle S=\frac{Pr}{2}\small,\) получаем:
\(\displaystyle 3=\frac{S}{P}=\frac{\frac{Pr}{2}}{P}=\frac{r}{2}\small.\)
Откуда получаем радиус вписанной окружности:
\(\displaystyle r=2\cdot3=6\small.\)
2. Запишем формулу, связывающую радиусы вписанной и описанной окружностей многоугольника:
\(\displaystyle r=R\cdot\cos\left(\frac{180^{\circ}}{n}\right)\small.\)
Подставим \(\displaystyle r=6\) и \(\displaystyle R=4\sqrt{3}\small,\) получаем
\(\displaystyle 6=4\sqrt{3}\cos\left(\frac{180^{\circ}}{n}\right)\small.\)
Значит,
\(\displaystyle \cos\left(\frac{180^{\circ}}{n}\right)=\frac{6}{4\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\small.\)
Значение \(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\) принимает косинус \(\displaystyle 30^{\circ}\small.\) Тогда
\(\displaystyle \frac{180^{\circ}}{n}=30^{\circ}\small,\)
\(\displaystyle n=\frac{180^{\circ}}{30^{\circ}}=6\small.\)
Ответ: \(\displaystyle n=6\small.\)