Головка болта имеет форму правильного шестиугольника, расстояние между противоположными сторонами которого равно \(\displaystyle 12\)мм. Найдите длину стороны шестиугольника.
Головка болта имеет форму правильного шестиугольника. Изобразим ее в виде правильного шеcтиугольника \(\displaystyle ABCDEF\small.\) Расстояние между противоположными сторонами равно \(\displaystyle 12\)мм. |  |
Тогда радиус этой окружности в два раза меньше и равен:
\(\displaystyle r=\frac{12}{2}=6\small.\)
\(\displaystyle R=4\sqrt{3}\) и \(\displaystyle a_6=4\sqrt{3}\small.\)
Зная радиус вписанной окружности и количество сторон многоугольника, находим радиус описанной окружности по формуле:
\(\displaystyle r=R\cdot\cos\left(\frac{180^{\circ}}{n}\right)\small.\)
Подставляя значения \(\displaystyle r=6\) и \(\displaystyle n=6\small,\) получаем:
\(\displaystyle 6=R\cdot\cos\left(\frac{180^{\circ}}{6}\right)=R\cos30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}R\small.\)
Откуда находим \(\displaystyle R{\small:}\)
\(\displaystyle R=6:\frac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}\small.\)
Теперь, используя вторую формулу, находим длину стороны \(\displaystyle 6\)-угольника \(\displaystyle a_6{\small:}\)
\(\displaystyle a_n=2R\cdot\sin\left(\frac{180^{\circ}}{n}\right)\small.\)
Подставляя значения, получаем:
\(\displaystyle a_6=2\cdot4\sqrt{3}\cdot\sin\left(\frac{180^{\circ}}{6}\right)=2\cdot4\sqrt{3}\cdot\sin60^{\circ}=4\sqrt{3}\small.\)
Ответ: \(\displaystyle a_6=4\sqrt{3}\small.\)